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Aharonov-Bohm-Effekt

Aharonov-Bohm-Effekt

Der Aharonov-Bohm-Effekt (nach David Bohm und Yakir Aharonov) ist ein quantenmechanisches Phänomen, bei dem ein Magnetfeld $\vec B$ die Interferenz von Elektronenstrahlen beeinflusst, obwohl diese sich nicht im klassisch zu erwartenden Einflussbereich von $\vec B$ befinden. Hauptursache des Effekts ist, dass die Beeinflussung durch das magnetische Vektorpotential erfolgt, und nicht durch das Magnetfeld selbst (weitere Einzelheiten: s.u.). Der Effekt zeigt somit explizit, dass die Quantenmechanik mehr ist als von „gewöhnlichen klassischen Theorien“ erwartet wird.

In der Quantenmechanik beschreibt man das Verhalten eines geladenen Teilchens im Magnetfeld durch den Hamilton-Operator

$H = \frac{\left(\vec p-\frac qc\vec A(\vec r,t)\right)^2}{2 m} + q \Phi(\vec r,t)$

(q: Ladung des Teilchens, $\vec p=\frac \hbar i\nabla$ : Impulsoperator, $\vec A$ : Vektorpotential, $Φ$ : skalares Potential, t: Zeit, $\vec r$ : Ort und m: Masse des Teilchens)

Klassisch dagegen erfolgt die Beeinflussung durch die sog. Lorentzkraft des Magnetfeldes, nach der Bewegungsgleichung

$m\vec a=q \cdot (\vec v\times \vec B/c +\vec E)$

wobei $\vec v$ bzw. $\vec a$ Geschwindigkeit bzw. Beschleunigung des Teilchens sind und $\times$ das Vektorprodukt bedeutet. Klassisch ist also ein Effekt nur dort zu erwarten, wo das Magnetfeld $\vec B$ selbst von Null verschieden ist (abgesehen vom elektrischen Feld $\vec E$ , das hier unwesentlich ist, ebenso wie das elektrische Potential $Φ$ ).

Vektorpotential $\vec A$ und Magnetfeld $\vec B$ hängen durch den mathematischen Begriff der Rotation zusammen:

$\vec{B} = \mathrm{rot}\,\vec{A} := \vec{\nabla}\times\vec{A}\quad\quad\,\,\,\,\, (*)$

Das Vektorpotential $\vec A$ ist dadurch generell nur bis auf den Gradienten $\vec\nabla f$ einer beliebigen skalaren Funktion $f$ bestimmt (siehe Eichtransformation). Das Symbol (*) soll die obige Gleichung für spätere Zwecke nummerieren.

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Experiment

Im Experiment laufen geladene Teilchen (Elektronen) auf verschiedenen Seiten an einem Zylinder vorbei, in dem ein Magnetfeld B herrscht. Der Zylinder ist von einer Wand umgeben, die von den Teilchen nicht durchdrungen werden kann; außerhalb ist das Magnetfeld Null. Trotzdem hängt der Ausgang des Experiments davon ab, ob das Magnetfeld ein- oder ausgeschaltet ist, denn das Vektorpotential A ist im ersten Fall auch außerhalb des Zylinders vorhanden. (Man stelle sich hierbei ein radial verlaufendes Vektorpotential vor. Dessen Rotation rot A und damit das Magnetfeld B ist außerhalb des Zylinders Null, dennoch ist A nirgends Null.) Die Superposition der Wellenfunktionen hinter dem Zylinder ergibt ein Interferenzmuster, das vom Vektorpotential beeinflusst wird, da die Wellenfunktionen auf Wegen rechts und links des Zylinders eine unterschiedliche Phasenverschiebung erhalten. Experimentell wurde dieser Zusammenhang u.a. von Möllenstedt et al. gezeigt.

Interpretation

Manchmal wird aus dem Effekt der Schluss gezogen, dass das Vektorpotential in der Quantenmechanik eine fundamentalere Bedeutung habe als das zugehörige Kraftfeld. Das trifft nicht das Wesentliche: Letztlich ist der magnetische Fluss $Φ B$ entscheidend. Dieser kann durch ein Kurvenintegral ausgedrückt werden, wobei der Integrationsweg sich außerhalb des Bereiches mit $\vec B\ne 0$ befinden darf. Es gilt jedenfalls $\Phi_B(F):=\oint_\Gamma \vec A\cdot \mathrm{d}\vec r$ , wobei $Γ$ geschlossen sein muss, was durch das Integrationssymbol $\oint$ angedeutet wird, damit man es mit einer eichinvarianten, d. h. nicht von der oben erwähnten Funktion f abhängigen Größe zu tun hat. Die Fläche F hängt über $\Gamma=\partial F$ mit der geschlossenen Kurve $Γ$ zusammen, was bedeuten soll, dass F von $Γ$ berandet wird. Nach dem Satz von Stokes, $\oint_\Gamma \vec A\cdot \mathrm{d}\vec r =\iint_F\mathrm{rot}\,\vec A\cdot \vec n \,\mathrm{d}^2A$ , ist dieses Linienintegral über die geschlossene Kurve $Γ$ wegen Gleichung (*) identisch mit dem Fluss der magnetischen Feldstärke durch die eingeschlossene Fläche F. ( $\vec n$ ist der Normalenvektor auf der Fläche und $d 2 A$ das zweidimensionale Flächenelement). Die Eichfreiheit hängt damit zusammen, dass in eine geschlossene Kurve $Γ$ verschiedene Flächen F eingeschlossen werden können, die von $Γ$ berandet werden.

Man kann den Effekt auch so interpretieren, dass durch den Magnetfluss die Geometrie verändert wird (nichtkommutative Geometrie). Die geschlossene Kurve $Γ$ entspricht dabei der Burgers-Schleife in der Theorie der Versetzungen und das Magnetfeld $\vec B$ der Versetzungsdichte.

Literatur

Franz Schwabl, Quantenmechanik (QM I), Springer 2004, ISBN 3540431063 (Kap. 7.5)
Y. Aharonov and D. Bohm, "Significance of Electromagnetic Potentials in the Quantum Theory," The Physical Review, vol. 115, no. 3, pages 485–491, Aug. 1959.
Y. Aharonov and D. Bohm, "Further Considerations on Electromagnetic Potentials in the Quantum Theory," The Physical Review, vol. 123, no. 4, pages 1511-1524, Aug. 1961.
G. Möllenstedt und W. Bayh, "Messung der kontinuierlichen Phasenschiebung von Elektronenwellen im kraftfeldfreien Raum durch das magnetische Vektorpotential einer Luftspule", Die Naturwissenschaften 49, 81 (1962)
Yoseph Imry and Richard A. Webb, "Quantum Interference and the Aharonov-Bohm Effect," Scientific American, vol. 260, no. 4, S. 56, Apr. 1989.

Siehe auch

Aharonov-Casher-Effekt
Berry-Phase
Michael Berry

Kategorie: Quantenphysik

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