Prisma (Geometrie)

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Ein Prisma (Mehrzahl: Prismen) ist ein geometrischer Körper, der durch Parallelverschiebung eines ebenen Vielecks entlang einer nicht in dieser Ebene liegenden Geraden im Raum entsteht. Ein Prisma ist daher ein spezielles Polyeder. Man kann auch von einer Extrusion des Vielecks sprechen.

Erfolgt die Parallelverschiebung senkrecht zur gegebenen Fläche, spricht man von einem geraden Prisma, andernfalls von einem schiefen Prisma. Das gegebene Vieleck wird als Grundfläche bezeichnet, die andere dazu kongruente und parallele Begrenzungsfläche als Deckfläche. Die Gesamtheit aller übrigen Begrenzungsflächen heißt Mantel. Dieser besteht aus Parallelogrammen, im Spezialfall des geraden Prismas aus Rechtecken.

Das Prisma erfüllt die allgemeine Definition eines Zylinders.

Eine besondere Form des Prismas ist der Quader. Er ist von jeder Seite betrachtet ein Prisma.

Im engeren Sinne versteht man in der Optik unter einem Prisma meistens ein gerades Prisma mit einem Dreieck als Grundfläche, siehe Prisma (Optik).

Das Volumen V eines Prismas ist gegeben durch

,

wobei A_G den Flächeninhalt der Grundfläche und h die Höhe des Prismas bezeichnet.

Die Mantelfläche A_M eines geraden Prismas ist gegeben durch

,

wobei U_G für den Umfang der Grundfläche und h für die Höhe des Prismas steht. Für schiefe Prismen ist diese Formel nicht richtig.

Die gesamte Oberfläche O eines Prismas ergibt sich aus

,

wobei A_G und A_M dem Inhalt von Grund- und Mantelfläche entsprechen.

Prismen mit Inkugel

Für gerade Prismen, die eine Inkugel besitzen, gilt:

Bipyramide

Verbindet man alle Flächenmittelpunkte jener Flächen eines Polyeders miteinander, die gemeinsame Eckpunkte haben, dann erhält man den zum Polyeder dualen Körper.

Der duale Körper eines geraden Prismas mit polygonaler Grundfläche ist eine Bipyramide mit einer ähnlichen gespiegelten Pyramide. Der Oberflächeninhalt errechnet sich wie folgt:

(S = Mantelfläche)

Antiprisma

Im Gegensatz zu einem Prisma liegen beim Antiprisma Ober- und Unterseite, die aus einem regelmäßigen n-Eck bestehen, parallel, aber um verdreht zueinander Ecke an Kante. Den Mantel bilden 2n gleichschenklige Dreiecke.

Ein einfaches Beispiel eines Antiprismas ist das Oktaeder, das sich als Antiprisma mit dreieckiger Grundfläche auffassen lässt. Das Oktaeder ist auch eine Bipyramide mit quadratischer Grundfläche.