Bethe-Bloch-Formel

Die Bethe-Bloch-Formel (eigentlich: Bethe-Formel, s.u.) beschreibt näherungsweise den Energieverlust geladener Teilchen (Protonen, Alphateilchen, Atomionen, Myonen u.a. aber nicht Elektronen) beim Durchqueren von Materie durch Ionisation und Anregung.

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Bewegen sich schnelle geladene Teilchen durch Materie, so wechselwirken sie mit den Hüllenelektronen der Atome des Materials. Diese Wechselwirkung führt zur Anregung oder zur Ionisation der Atome. Dadurch erleidet das durchquerende Teilchen einen Energieverlust, welcher durch die unten angegebene Formel näherungsweise angegeben wird. Die Bethe-Formel, die von Hans Bethe 1930 aufgestellt wurde, gibt den Energieverlust pro Weglängeneinheit (bzw. das Bremsvermögen des Materials) an:

$- \frac{dE}{dx} = \frac{4 \pi}{m_e c^2} \cdot \frac{nz^2}{\beta^2} \cdot \left(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2 \cdot \left[\ln \left(\frac{2m_e c^2 \beta^2}{I \cdot (1-\beta^2)}\right) - \beta^2\right]$ (1)

wobei

$β$	$= v / c$
$v$	= Geschwindigkeit des Teilchens
$E$	= Energie des Teilchens
$x$	= Weglänge
$c$	= Lichtgeschwindigkeit
$z$	= Anzahl der Ladungen des Teilchens ( $z\cdot e$ = Ladung des Teilchens)
$e$	= Ladung des Elektrons
$n$	= Elektronendichte des Materials
$I$	= Mittleres Anregungspotential des Targets
$m e$	= Ruhmasse des Elektrons

Die Elektronendichte lässt sich dabei mit $n=Z \cdot N_{A}\cdot \frac{\rho}{M_A}$ berechnen. Dabei ist $ρ$ die Dichte des durchdrungenen Materials, $Z$ die Ordnungszahl, $M A$ die Molmasse eines Atoms und $N A$ die Avogadro-Zahl.

Es ist zu beachten, dass die Bethe-Bloch-Formel die Geschwindigkeitsabhängigkeit des Energieverlustes pro Wegeinheit angibt. Anschaulicher ist zunächt die Bragg-Kurve, welche die Wegabhängigkeit angibt.

Für kleine Energien, d.h. für kleine Geschwindigkeiten des durchlaufenden Teilchens $( \beta \ll 1)$ , fällt laut Formel (1) der Energieverlust bei steigender Energie etwa mit $\frac {1} {\beta^2}$ ab und erreicht ein Minimum bei etwa $E = 3 M c 2$ , wo $M$ die Masse des Teilchens ist, bzw. bei $\beta\gamma\approx3$ . Im stark relativistischen Bereich $( \beta \approx 1)$ steigt der Energieverlust wieder logarithmisch an. Da dieser Anstieg für viele in der Teilchenphysik relevante Strahlungsteilchen und Absorbermaterialien sehr flach ist, werden Teilchen mit einer Energie über dem Minimum häufig zusammengefasst und als MIPs (Minimal Ionizing Particles - Minimal ionisierende Teilchen) bezeichnet. Als Faustformel kann man für MIPs mit einem spezifischen Energieverlust von $-\frac{1}{\rho}\frac{\mathrm d E}{\mathrm d x}\approx 1,5 \frac{\mathrm{MeV}}{\mathrm g\;\mathrm{cm}^{-2}}$ rechnen.

Felix Bloch hat 1933 gezeigt, dass das mittlere Anregungspotential der Atome im Mittel etwa

(2)

beträgt, wo $Z$ die Ordnungszahl der Atome des Materials bedeutet. Setzt man diese Größe in Formel (1) oben ein, so führt das zu einer Gleichung, die oft als Bethe-Bloch-Gleichung bezeichnet wird. Da es aber genauere Tabellen von $I$ als Funktion von $Z$ gibt (z.B. im ICRU Report 49 der International Commission on Radiation Units and Measurements, 1993), erhält man durch Verwendung einer solchen Tabelle bessere Resultate als mit Formel (2).

Zum Namen der Formel

In der Beschreibung der Programme PSTAR und ASTAR (für Protonen und Alphateilchen), die das National Institute of Standards and Technology (NIST) zur Verfügung stellt (Link: Description of PSTAR and ASTAR databases), heißt die Formel (1) sinnvollerweise "Bethe's stopping power formula".

In der 2006 edition of Review of Particle Physics (W-M Yao et al. 2006 J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 33 1–1232) anderseits heißt die Formel unlogischerweise "Bethe-Bloch equation", obwohl dort der Blochsche Ausdruck (2) gar nicht drin steht.

Siehe auch

Bremsvermögen

Bethe-Formel

Hans Bethe, Felix Bloch

Durchgang geladener Teilchen durch Materie, inklusive Plot (engl.)

Bremsvermögen für Protonen und Alphateilchen (engl.)

Kategorie: Kernphysik

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