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Bethe-Formel

Die Bethe-Formel, die von Hans Bethe 1930 aufgestellt wurde, gibt den Energieverlust pro Weglängeneinheit an, den schnelle geladene Teilchen (Protonen, Alphateilchen, Atomionen, aber nicht Elektronen) beim Durchgang durch Materie erleiden (bzw. das Bremsvermögen des Materials).

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Die Formel

Die Formel lautet:

$- \frac{dE}{dx} = \frac{4 \pi nz^2}{m_{\rm e} c^2 \beta^2 } \cdot \left(\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}\right)^2 \cdot \left[\ln \left(\frac{2m_{\rm e} c^2 \beta^2}{I \cdot (1-\beta^2)}\right) - \beta^2\right]$

wobei

$β$	$= v / c$
$v$	= Geschwindigkeit des Teilchens
$E$	= Energie des Teilchens
$x$	= Weglänge
$c$	= Lichtgeschwindigkeit
$z$	= Anzahl der Ladungen des Teilchens ( $z\cdot e$ = Ladung des Teilchens)
$e$	= Ladung des Elektrons
$n$	= Elektronendichte des Materials
$m e$	= Ruhmasse des Elektrons
$I$	= Mittleres Anregungspotential des Materials (s.u.)

Die Elektronendichte $n$ lässt sich dabei mit $n=\frac{N_{A}\cdot Z\cdot\rho}{A}$ berechnen. Dabei ist $ρ$ die Dichte des durchdrungenen Materials, $Z, A$ Ordnungs- bzw. Atommassenzahl und $N A$ die Avogadro-Zahl.

Im Bild rechts bedeuten die kleinen Kreise Messergebnisse, die von verschiedenen Arbeitsgruppen aus Messungen gewonnen wurden (entnommen von http://www.exphys.uni-linz.ac.at/Stopping/); die rote Kurve stellt die Bethe-Formel dar. Offenbar ist die Übereinstimmung von Bethes Theorie mit den Experimenten bei hoher Energie sehr gut. Nur unterhalb von 0,3 MeV liegt die Kurve zu tief; dort fehlen die Korrekturen (s.u.).

Im Bild links ist das mittlere Anregungspotential der verschiedenen Elemente gezeigt, das die Information über das jeweilige Atom enthält. Die Daten stammen aus dem Report 49 der International Commission on Radiation Units and Measurements, "Stopping Powers and Ranges for Protons and Alpha Particles" (1993). Den Spitzen und Tälern in der Darstellung ("Z₂-Oszillationen", wobei Z₂ die Ordungszahl des Materials bedeutet) entsprechen niedrigere bzw. höhere Werte des Bremsvermögens; diese Oszillationen beruhen auf der Schalenstruktur der Elemente.

Die Bethe-Formel wird manchmal auch als Bethe-Bloch-Formel bezeichnet, was aber irreführend ist.

Für kleine Energien, d.h. für kleine Teilchengeschwindigkeiten $( \beta \ll 1)$ , reduziert sich die Bethe-Formel auf

$- \frac{dE}{dx} = \frac{4 \pi nz^2}{m_e v^2} \cdot \left(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2 \cdot \left[\ln \left(\frac{2m_e v^2 }{I}\right)\right]$ .

Für kleine Energien fällt laut Bethe-Formel der Energieverlust bei steigender Energie etwa mit $1 / v 2$ ab und erreicht ein Minimum bei etwa $E = 3 M c 2$ , wobei $M$ die Masse des Teilchens ist (also z.B. für Protonen etwa bei 3000 MeV, was im Bild nicht mehr sichtbar ist). Im stark relativistischen Bereich $( \beta \approx 1)$ steigt der Energieverlust wieder logarithmisch an.

Die Bethe-Formel gilt nur für Energien, die so hoch sind, dass das geladene atomare Teilchen (das Ion) keine Hüllenelektronen mit sich führt. Bei kleineren Energien, wenn das Ion Elektronen mit sich führt, wird die effektive Teilchenladung dadurch reduziert, und das Bremsvermögen ist kleiner. Aber sogar wenn das atomare Teilchen vollständig ionisiert ist, sind Korrekturen notwendig:

Korrekturen zur Bethe-Formel

Die Bethe-Formel wurde von Bethe mit Hilfe der quantenmechanischen Störungstheorie abgeleitet, das Ergebnis ist daher dem Quadrat der Ladung $z$ proportional. Eine bessere Beschreibung erhält man, wenn man auch Abweichungen berücksichtigt, die höheren Potenzen von $z$ entsprechen, und zwar den Barkas-Andersen-Effekt (proportional $z 3$ ; nach Walter H. Barkas und Hans Henrik Andersen) und die Bloch-Korrektur (proportional $z 4$ ; nach Felix Bloch). Außerdem ist es notwendig, die Bewegung der Hüllenelektronen im Atom des Materials zu berücksichtigen ("Schalenkorrektur").

Diese Korrekturen sind beispielsweise in den Programmen PSTAR und ASTAR des National Institute of Standards and Technology (NIST), die das Bremsvermögen für Protonen bzw. Alphateilchen berechnen (www.physics.nist.gov/PhysRefData/Star/Text/programs.html) eingebaut. Die Korrekturen sind groß bei niedrigen Energien und werden immer kleiner, je größer die Energie.

Siehe auch

Bremsvermögen

Hans Bethe

Literatur

Sigmund P.: "Particle Penetration and Radiation Effects, General Aspects and Stopping of Swift Point Charges", Springer Series in Solid State Sciences Vol. 151, Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2006)

Durchgang geladener Teilchen durch Materie, inklusive Plot (engl.)

Bremsvermögen für Protonen und Alphateilchen (engl.)

Stopping Power Daten und Kurven (engl.)

Kategorie: Kernphysik

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