Bloch-Funktion

Die Bloch-Funktion oder Bloch-Welle (nach Felix Bloch) ist die allgemeinste Lösung der stationären Schrödingergleichung für ein x₀-periodisches Potential (z.B. die Wellenfunktion eines Elektrons in einem kristallinen Festkörper). Die Form dieser Wellenfunktionen wird durch das Bloch-Theorem festgelegt:

Es sei ein periodisches Potential V(x) mit der Periodizität x0 gegeben, V(x + x0) = V(x). Dann haben die Lösungen der stationären Schrödinger-Gleichung notwendigerweise die Form Weiteres empfehlenswertes Fachwissen Erkennen Sie die Auswirkungen elektrostatischer Aufladungen auf Ihre Waage Lassen Sie sich von statischen Aufladungen nicht die Wägegenauigkeit stören. Richtiges Wägen mit Laborwaagen: Die Wägefibel wobei uk(x) eine periodische Funktion mit Periode x0 ist (uk(x) = uk(x + x0)).

Die Periodizität des Potentials V(x)=V(x+x₀) überträgt sich also auf u_k(x) und damit auf die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des betrachteten Teilchens |ψ|² im Potential. Betrachtet man einen kristallinen Festkörper, so ist die Periodizität x₀ durch das Kristallgitter, also einen Gittervektor gegeben.

Kurze Herleitung

Das Potential V(r) ist invariant gegenüber einer Translation um einen Vektor R (in einem Kristall ist R ein Gittervektor):

Dieselbe Translationsinvarianz gilt damit auch für den Hamiltonoperator des Teilchens. Daher unterscheiden sich zwei Wellenfunktionen, die um einen Vektor R gegeneinander verschoben sind, höchstens um einen ortsunabhängigen Faktor f:

.

Bloch zeigte, dass der Faktor f gegeben sein muss durch

.

Diese Bedingungen werden aber gerade durch die Bloch-Funktion erfüllt.

Literatur

• Cohen-Tannoudji, Claude / Diu, Bernard / Laloë, Franck (1999): Quantenmechanik 1&2, 2. Auflage, Berlin - New York: Walter de Gruyter.
• Kittel, Charles (2006): Einführung in die Festkörperphysik, 14. Auflage, München: Oldenbourg-Verlag, Seite 194
• Ibach, Harald / Lüth, Hans (1991): Festkörperphysik, 3.Auflage, Berlin - Heidelberg: Springer-Verlag, Seite 106fff