Bloch-Funktion

Die Bloch-Funktion oder Bloch-Welle (nach Felix Bloch) ist die allgemeinste Lösung der stationären Schrödingergleichung für ein x₀-periodisches Potential (z.B. die Wellenfunktion eines Elektrons in einem kristallinen Festkörper). Die Form dieser Wellenfunktionen wird durch das Bloch-Theorem festgelegt:

Es sei ein periodisches Potential V(x) mit der Periodizität x0 gegeben, V(x + x0) = V(x). Dann haben die Lösungen der stationären Schrödinger-Gleichung notwendigerweise die Form Weiteres empfehlenswertes Fachwissen Wie erhalten Sie Tag für Tag genaue Wägeresultate? Lassen Sie sich von statischen Aufladungen nicht die Wägegenauigkeit stören. Was ist die Empfindlichkeit meiner Waage? wobei uk(x) eine periodische Funktion mit Periode x0 ist (uk(x) = uk(x + x0)).

Die Periodizität des Potentials V(x)=V(x+x₀) überträgt sich also auf u_k(x) und damit auf die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des betrachteten Teilchens |ψ|² im Potential. Betrachtet man einen kristallinen Festkörper, so ist die Periodizität x₀ durch das Kristallgitter, also einen Gittervektor gegeben.

Kurze Herleitung

Das Potential V(r) ist invariant gegenüber einer Translation um einen Vektor R (in einem Kristall ist R ein Gittervektor):

Dieselbe Translationsinvarianz gilt damit auch für den Hamiltonoperator des Teilchens. Daher unterscheiden sich zwei Wellenfunktionen, die um einen Vektor R gegeneinander verschoben sind, höchstens um einen ortsunabhängigen Faktor f:

.

Bloch zeigte, dass der Faktor f gegeben sein muss durch

.

Diese Bedingungen werden aber gerade durch die Bloch-Funktion erfüllt.

Literatur

• Cohen-Tannoudji, Claude / Diu, Bernard / Laloë, Franck (1999): Quantenmechanik 1&2, 2. Auflage, Berlin - New York: Walter de Gruyter.
• Kittel, Charles (2006): Einführung in die Festkörperphysik, 14. Auflage, München: Oldenbourg-Verlag, Seite 194
• Ibach, Harald / Lüth, Hans (1991): Festkörperphysik, 3.Auflage, Berlin - Heidelberg: Springer-Verlag, Seite 106fff