Born-Landé-Gleichung

Die Born-Landé-Gleichung (auch Madelung-Gleichung) ist eine Erweiterung des elektrostatischen Coulomb-Modells für Ionenkristalle (also Salze) und erlaubt die Berechnung von Gitterenergien. Die Gleichung ist benannt nach Max Born und Alfred Landé.

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Das Coulomb-Modell geht von entgegengesetzen Punktladungen in regelmäßiger Anordnung aus, da Ionen gegen außen positiv oder negativ geladen sind. Bei genügend großer Annäherung treffen jedoch die Elektronenschalen der Ionen aufeinander, die sich aufgrund ihrer gleichen "Ladung" abstoßen. Die Größe der Abstoßung hängt von der Elektronendichte der Ionen ab und wird mit dem Born-Exponenten n gemessen. Dieser wird experimentell aus der Kompressibilität der Ionenkristalle ermittelt, zur Berechnung können aber auch Durchschnittswerte verwendet werden.

$U_0 = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{N_A \cdot \alpha \cdot a \cdot b \cdot e^2}{d_0} \cdot \biggl(1-\frac{1}{n} \biggr)$

Symbol	Name	Einheit
$U 0$	Gitterenergie	J/mol
$N A$	Avogadro-Konstante = 6,022141·10²³ mol^-1	1/mol
$α$	Madelungkonstante	dimensionslos
$a$	Anzahl Elementarladungen des Kations	dimensionslos
$b$	Anzahl Elementarladungen des Anions	dimensionslos
$e$	Elementarladung = 1,602176·10^-19 C	C
$\varepsilon_0$	Permittivität des Vakuums = 8,854185·10^-12 C²·(J·m)^-1	C / (Vm) = C^2 / (Jm)
$d 0$	Ionenabstand im Gleichgewicht (aus Röntgenbeugungsexperimenten oder genähert als Summe der Ionenradien)	m
$n$	Born-Exponent	dimensionslos

Weitere Verfeinerungen beruhen auf Einbezug der Temperatur:

Nullpunktsenergie
Umrechnung des Resultats auf Temperaturen oberhalb des absoluten Nullpunkts

Je größer der kovalente Bindungsanteil wird, desto schlechter werden die Resultate mit der Wirklichkeit übereinstimmen. Dies kommt daher, dass Modell auf der Betrachtung reiner Ionen beruht.

Siehe auch

Kapustinskii-Gleichung

Literatur

M. Born, A. Landé; Ber. Preuß. Akad. Wiss. Berlin Nr. 45, 1918, S. 1048 ff.

Kategorie: Festkörperphysik

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