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Born-Oppenheimer-NäherungDie Born-Oppenheimer-Näherung oder Born-Oppenheimer-Approximation oder adiabatische Näherung ist eine Methode zur Lösung der Schrödingergleichung für ein System mit mehreren schweren und wenigstens einem leichten Teilchen. Dieses Problem tritt bei der quantenmechanischen Behandlung von Molekülen auf, da diese aus mindestens zwei Atomkernen und einer Vielzahl von sehr viel leichteren Elektronen bestehen. Schon für das einfachste Molekül, das H2+ Ion, ist eine exakte Lösung der Schrödinger-Gleichung nicht mehr möglich, eine Näherung also unumgänglich. Die Born-Oppenheimer-Approximation ist benannt nach Max Born und J. Robert Oppenheimer, welche diese Vorgehensweise erstmals 1927 in den Annalen der Physik veröffentlichten[1] Weiteres empfehlenswertes Fachwissen
PrinzipDie Vereinfachung beruht auf der Annahme, dass man die Bewegung der Kerne von der Bewegung der Elektronen trennen kann. Dies wird nahe gelegt durch den großen Massenunterschied, der zu einer größeren Trägheit der Kerne führt. Da alle Teilchen untereinander hauptsächlich durch Coulomb-Kräfte wechselwirken, die im Wesentlichen gleich stark sind, werden die Elektronen viel stärker beschleunigt als die Kerne. Die Näherung besteht bildlich gesprochen darin, zunächst die Kerne als ortsfest zu betrachten. Daraus ergibt sich ein Potenzial für die Elektronenbewegung. Man versucht nun, die Wellenfunktion der Elektronen in diesem Zustand und deren Energie (im Allgemeinen näherungsweise) zu berechnen. Dazu addiert man die Energie der Kerne in der betrachteten Anordnung. So erhält man eine Gesamtenergie für das System. Dann variiert man die Anordnung der Kerne, erhält wieder eine Gesamtenergie usw. Die Gesamtenergie in Abhängigkeit von der Anordnung der Kerne verwendet man dann als Potenzial, in dem man die Kernbewegung berechnen kann. Mathematische FormulierungDie Voraussetzung für diese Annäherung besteht in der Annahme, dass die Elektronenbewegung und die Kernbewegung getrennt werden können. Diese Annahme führt zu einer molekularen Wellengleichung, die aus einem Produkt der Elektronen-Wellenfunktion Ψel und der Kern-Wellenfunktion Ψn besteht:
Weiter trifft man die Annahmen, dass:
Wendet man nun den Hamilton-Operator () auf die gesamte Wellenfunktion an, so bekommt man zwei getrennte Ausdrücke:
Elektronen-Schrödingergleichung:
Zusammengefasst: Die große Differenz der relativen Massen zwischen Elektronen und Kernen erlaubt es, die Wellenfunktion in eine Elektronen-Wellengleichung und eine Kern-Wellengleichung zu trennen. VorgehensweiseFür verschiedene Kernabstände wird die Schrödingergleichung sukzessiv gelöst. Man erhält schließlich einen Zusammenhang zwischen Bindungslänge und der Energie des Moleküls. Dies wird durch die Potenzialkurve ausgedrückt. Aus der Potenzialkurve lassen sich der Gleichgewichtsabstand und die Dissoziationsenergie der Bindung ermitteln. GüteDie Born-Oppenheimer-Näherung führt zu guten Ergebnissen für Moleküle im Grundzustand, insbesondere bei denen mit schweren Kernen. Allerdings kann sie zu sehr schlechten Ergebnissen für angeregte Moleküle und Kationen führen, was besonders bei der Photoelektronenspektroskopie zu beachten ist. Quellen
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Dieser Artikel basiert auf dem Artikel Born-Oppenheimer-Näherung aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation. In der Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar. |