Brechzahl

Die Brechzahl (oft auch als Brechungsindex bezeichnet) ist eine physikalische Größe in der Optik. Sie kennzeichnet die Brechung einer elektromagnetischen Welle beim Übergang zwischen zwei Medien und ist das Verhältnis zwischen der Phasengeschwindigkeit des Lichtes c₀ im Vakuum und seiner Phasengeschwindigkeit c im jeweiligen Medium:

In einem Stoff mit einer Brechzahl von 2 beträgt die Phasengeschwindigkeit des Lichts genau die Hälfte der Vakuumlichtgeschwindigkeit, d. h. 149.896,229 km/s.

Allgemein bekannte Anwendungen der Bestimmung der Brechzahl sind die Bestimmung des Frostschutzmittelgehaltes in Kühlflüssigkeiten (z. B. in flüssigkeitsgekühlten Verbrennungsmotoren oder in thermischen Solaranlagen), die Bestimmung des Zuckergehaltes von Wein oder die Kontrolle der Bremsflüssigkeit in hydraulischen Bremssystemen.

Es ist auch üblich, bei hoher Brechzahl von einem „optisch dichten Medium“ bzw. bei niedriger Brechzahl von einem „optisch dünnen Medium“ zu sprechen. Der Begriff optische Dichte selbst sollte allerdings nicht mit der Extinktion verwechselt werden.

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Physikalische Grundlagen

  Die Bezeichnung „Brechzahl“ kommt vom Begriff Brechung und seinem Auftreten im snelliusschen Brechungsgesetz. Zusätzlich hat diese physikalische Größe keine Einheit und ist somit eine dimensionslose Zahl. Sie kann auch als komplexe Zahl angegeben werden:

wobei k(ω) der wellenlängenabhängige Absorptionskoeffizient des Materials ist. Über ihn ist es möglich, die Extinktion, also die Schwächung von Strahlung beim Durchgang durch Materie zu beschreiben.

Die Brechzahl ist frequenz- und damit auch wellenlängenabhängig. Dieser als Dispersion bezeichnete Effekt ermöglicht beispielsweise die Zerlegung von weißem Licht in seine Spektralfarben an einem Prisma. Die Frequenzabhängigkeit der (komplexen) Brechzahl in Materie kann recht gut über das Modell des Lorentz-Oszillators beschrieben werden.

Betrachtet man hingegen das Verhältnis der Gruppengeschwindigkeiten von Licht im Vakuum zu dem im Medium, so ergibt sich die Gruppenbrechzahl

Wenn man die Wellenlängenabhängigkeit (Dispersion) der Brechzahl eines Materials theoretisch ermitteln will, geht man über die elektrische Suszeptibilität, die die Beiträge der verschiedenen Mechanismen im Material zu den Eigenschaften erfasst und in der komplexen Permittivität mündet. Von hier aus kann man im Fall von (nichtmagnetisches Material) direkt aus den Real- und Imaginärteilen der Permittivität ε₁ und ε₂ die Größen n und k berechnen:

Messung der Brechzahl

Zur experimentellen Bestimmung der Brechzahl eines Mediums mit (z.B. nicht magnetisch) n_med kann man z. B. den Brewster-Winkel beim Übergang von Luft in dieses Medium messen. Für diesen Fall gilt . Für die Messung wird ein Refraktometer angewandt.

Andere Definitionen

  Die Definition der Brechzahl erfolgte oben strahlenphysikalisch – über die verschiedenen Lichtgeschwindigkeiten. Diese Gleichung ist elegant, aber für unlängst entdeckte Meta-Materialien untauglich, da in diesen negative Brechzahlen n auftreten. Dies ist mit dieser Definition unmöglich.

Doch lässt sich die Brechung auch auf drei anderen Wegen definieren:

• über das Fermatsche Prinzip, nach welchem das Licht zwischen zwei Punkten jenen Weg zurücklegt, für den es einen Extremwert der Zeit benötigt,
• über das Huygens-Fresnelsche Prinzip, das besagt, dass jeder Punkt einer Wellenfront als Ausgangspunkt einer neuen Welle, der sogenannten Elementarwelle, betrachtet werden kann und
• über die Strahlenoptik. Nach dem erwähnten Snellius-Brechungsgesetz entspricht n dem Sinus-Verhältnis von Einfalls- und Reflexionswinkel. Dabei wird der Winkel des einfallenden als auch der des gebrochenen Lichtstrahls jeweils auf das Lot bezüglich der Grenzfläche bezogen.

Brechzahl der Luft und anderer Stoffe

Die Brechzahl der Luft beträgt auf Meeresniveau durchschnittlich 1,00029. Sie hängt ab von der Dichte und der Temperatur der Luft sowie von der speziellen Zusammensetzung der Luft – insbesondere der Luftfeuchtigkeit. Da die Luftdichte nach oben – entsprechend den Gasgesetzen in einem Schwerefeld – exponentiell abnimmt, siehe barometrische Höhenformel, beträgt sie in etwa 8 km Höhe nur mehr 1,00011. Dennoch werden die von Sternen kommenden Lichtstrahlen in Horizontnähe um 0,6° gehoben und in 45° noch um 0,017°. Der Effekt heißt astronomische Refraktion und beeinflusst in ähnlicher Art auch jede terrestrische Vermessung.

Da wie in der Einleitung beschrieben die Brechzahl jedes Materials von der Wellenlänge des einfallenden Lichts abhängt – gilt auch bei elektromagnetischen Strahlungen anderer Wellenlängebereiche – wäre es notwendig, diese auch wellenlängenabhängig (tabellarisch oder als Funktion) anzugeben. Da dies aber für viele einfache Anwendungen nicht notwendig ist, wird die Brechzahl üblicherweise für die Wellenlänge der Natrium-D-Linie (589 nm) angegeben.

Totalreflexion

Wird Licht beim Auftreffen auf eine Grenzschicht zwischen zwei Medien mit verschiedenen Brechzahlen nicht gebrochen, sondern vollständig reflektiert, spricht man von Totalreflexion. Um diesen Effekt hervorzurufen muss der Winkel (zwischen dem Lot auf die Grenzschicht und dem einfallenden Lichtstrahl) einen bestimmten Wert (den Akzeptanzwinkel, bzw. Grenzwinkel) überschreiten. Für den Grenzwinkel der Totalreflexion α_G gilt

.

Anwendung

In der Chemie wird die Brechzahl bei einer bestimmten Temperatur oft eingesetzt, um flüssige Substanzen zu charakterisieren. Die Temperatur, bei der die Brechzahl bestimmt wurde, wird dabei dem Symbol für die Brechzahl angefügt, für 20 °C z. B. .

Die Bestimmung der Brechzahl erlaubt eine einfache Bestimmung des Gehaltes einer bestimmten Substanz in einem Lösungsmittel:

• Zucker in Wein, siehe Grad Brix
• Harz in Lösungsmittel
• Wirksubstanz in Gefrierschutzmittel

Mikroprozessoren werden mittels Photolithographie hergestellt. Die Ätzmaske wird dabei durch ultraviolettes Licht einer Wellenlänge von 193 Nanometern übertragen. Normalerweise sind die kleinstmöglichen Abmessungen durch die halbe Wellenlänge begrenzt. Durch Einsatz von Flüssigkeiten mit einer Brechzahl von 1,6 gelingt es Entwicklern bei IBM, ein Gitter paralleler Linien einer Dicke von nur 29,9 Nanometern zu erzeugen. Dadurch ist bei der Chipherstellung eine zukünftige weitere Steigerung unter Verwendung der gleichen Lichtquelle möglich.^[3][4]

Brechzahl und Dichte

  Die Brechzahl von Silikat- und Borosilikatgläsern erhöht sich in der Regel mit ihrer Dichte. So haben zum Beispiel Bleisilikatgläser mit hoher Dichte auch eine hohe Brechzahl. Es gilt jedoch zu beachten, dass trotz dem allgemeinen Trend die Beziehung zwischen Brechzahl und Dichte nicht immer linear ist und dass Ausnahmen auftreten, wie rechts im Diagramm dargestellt. Eine relativ hohe Brechzahl und niedrige Dichte kann man erhalten mit Gläsern, die leichte Metalloxide wie Li₂O oder MgO enthalten, während das Gegenteil mit PbO- und BaO-haltigen Gläsern erreicht wird.

Negative Brechzahlen

1964 sagte der sowjetische Physiker Victor Veselago die Existenz von Materialien mit negativen Brechzahlen voraus. Würde die Herstellung eines solchen Materials gelingen, könnte man damit Linsen herstellen, deren Auflösungsvermögen weit besser wäre als das von Linsen aus gewöhnlichen optischen Werkstoffen.

Forschern um Srinivas Sridhar von der Northeastern University in Boston gelang es, einen Verbundwerkstoff herzustellen, der ein feines Gitter aus Metalldrähten enthält, das für Mikrowellen eine negative Brechzahl zeigt. Ob und wann aber ein Material hergestellt werden kann, das auch im optischen Bereich derartige Eigenschaften hat, war bis vor kurzem noch völlig unklar.

Im Oktober 2003 hat eine Gruppe um Yong Zhang in Colorado entdeckt, dass Kristalle aus einer Legierung von Yttrium, Vanadium und Sauerstoff auch ohne Weiterverarbeitung eine negative Brechzahl für Lichtwellen eines großen Frequenzbereichs aufweisen. Der Kristall besteht aus zwei ineinandergeschachtelten Kristallgittern mit symmetrischen optischen Achsen. Die negative Lichtbrechung tritt aber nur in einem gewissen Winkelbereich des Einfallswinkels auf. In künftigen Experimenten wollen die Forscher weitere vermutete Eigenschaften der negativen Brechung prüfen – wie etwa die Umkehrung des Dopplereffekts und der Tscherenkow-Strahlung.

Auf der Märztagung 2007 der Amerikanischen Physikalischen Gesellschaft stellten Vladimir Shalaev und seine Kollegen von der Purdue-Universität ein Metamaterial mit negativer Brechzahl für Strahlung im nahen Infrarotbereich vor. Damit sind sie nahe am sichtbaren Spektrum.

In fernerer Zukunft könnte die Herstellung perfekter Linsen gelingen, die kleinere Objekte als das Beugungslimit der Optik abbilden können. Einen ersten Schritt in diese Richtung machten Forscher um Prof. Xiang Zhang an der Uni Berkeley: Sie nutzten die in einem 35 Nanometer dünnen Silberfilm an der Grenzfläche zu PMMA auftretende negative Brechzahl, um ein Mikroskop zu bauen, das eine sechsfach höhere Auflösung besitzt als die Wellenlänge des zur Beobachtung verwendeten Lichts.^[6]

Siehe auch

• Doppelbrechung

Quellen und Fußnoten

1. ↑ Steffen, H. ; Mayer, H.: Optische Eigenschaften dünner Cäsium-Schichten im Wellenlängenbereich von 0,3 bis 0,9 µm und ihr elektrischer Widerstand. In: Zeitschrift für Physik A Hadrons and Nuclei 254 (1972), Nr. 3, S. 250–268. doi:10.1007/BF01379784
2. ↑ ^{a b} Lide, David R.: CRC handbook of chemistry and physics : A ready-reference book of chemical and physical data. 87. Aufl. Boca Raton Fla. : CRC Taylor & Francis, 2006 – ISBN 0849304873
3. ↑ IBM beats optical lithography limits (Technology News in optics.org vom 22. Februar 2006)
4. ↑ Photolithographie ist noch lange nicht am Ende (Newsticker wissenschaft.de vom 28. Februar 2006)
5. ↑ Glassproperties.com Berechnung der Brechzahl von Gläsern (in englischer Sprache)
6. ↑ wissenschaftliche Veröffentlichung über eine Superlinse (in englischer Sprache)

• Negative Brechzahl bei Mikrowellen
• Spezieller Kristall mit negativer Brechzahl
• Metamaterial mit negativer Brechzahl im nahen Infrarotbereich
• Left Handed Material at Work
• Brechzahlen verschiedener Glassorten
• dynamische Arbeitsblätter zum Thema „Brechung und Totalreflexion“
• The speed of light is not violated by negative refraction
• Brechzahlmeßstand der Firma Carl Zeiss