Clebsch-Gordan-Koeffizient

Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten finden ihre Verwendung in der Kopplung quantenmechanischer Drehimpulse. Es handelt sich dabei um Entwicklungskoeffizienten, mit denen man aus der Basis der Einzeldrehimpulse in die Basis des Gesamtdrehimpulses übergeht. Sie werden zur Berechnung der Spin-Bahn-Kopplung sowie im Isospin-Formalismus verwendet.

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Sie wurden nach Alfred Clebsch (1833-1872) und Paul Albert Gordan (1837-1912) benannt.

Man geht von zwei Drehimpulsen $J 1$ und $J 2$ aus, die jeweils die Quantenzahlen $j 1$ und $m 1$ (z-Komponente), bzw. $j 2$ und $m 2$ besitzen. Dabei nehmen $m 1$ und $m 2$ folgende Werte an: $m 1 = [ - j 1 .. j 1]$ und $m 2 = [ - j 2 .. j 2]$ und die Drehimpulse vertauschen untereinander: $[J 1, J 2] = 0$ (s. Quantenmechanischer Kommutator). Das bedeutet, daß man die einzelnen Drehimpulse unabhängig von einander scharf messen kann. Jeder dieser Drehimpulse hat seinen eigenen Eigenraum, der durch die Eigenvektoren $\left| j_1, m_1 \right\rangle$ bzw. $\left| j_2, m_2 \right\rangle$ aufgespannt wird. In der Basis dieser Eigenvektoren $\left| j_1, m_1 \right\rangle$ hat $J 1$ eine einfache diagonale Gestalt; analoges gilt für $J 2$ .

Nun koppeln die einzelnen Drehimpulse $J 1$ und $J 2$ zu einem Gesamtdrehimpuls $\vec{J} = \vec{J_1} + \vec{J_2}$ (Addition der einzelnen Komponenten). Dieser Gesamtdrehimpuls besitzt nun die Quantenzahlen J und M, die folgende Werte annehmen können: $| j_1 - j_2 | \le J \le | j_1 + j_2 |$ und $M = [ - J,..., J]$ (in ganzzahligen Schritten).

Da der Gesamtdrehimpuls J aus beiden Drehimpulsen $J 1$ und $J 2$ besteht, kann er im Produktraum der einzelnen Eigenzustände dargestellt werden. $\left| j_1, m_1; j_2, m_2 \right\rangle = \left| j_1, m_1 \right\rangle \otimes \left| j_2, m_2 \right\rangle$

Allerdings sind dies keine Eigenvektoren des Gesamtdrehimpulses J, so dass er in dieser Basis keine Diagonalgestalt besitzt. Die Eigenvektoren von J werden durch die Quantenzahlen J, M, $J 1$ und $J 2$ eindeutig festgelegt. In diesen neuen Eigenvektoren hat der Gesamtdrehimpuls J wieder eine einfache Diagonalgestalt. Es gilt:

$\vec{J}^2 \left| J, M, j_1, j_2 \right\rangle = J(J+1) \hbar^2 \left| J, M, j_1, j_2 \right\rangle$

$J_z \left| J, M, j_1, j_2 \right\rangle = M \hbar \left| J, M, j_1, j_2 \right\rangle$

Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten geben nun den Übergang der Produktbasis $\left| j_1, m_1; j_2, m_2 \right\rangle$ in die Eigenbasis $\left| J, M, j_1, j_2 \right\rangle$ an.

$\left| J, M, j_1, j_2 \right\rangle = \sum_{m_1, m_2} \left| j_1, m_1; j_2, m_2 \right\rangle \langle\ j_1, m_1; j_2, m_2 | J, M, j_1, j_2 \rangle$

Dabei sind $\langle\ j_1, m_1; j_2, m_2 | J, M, j_1, j_2 \rangle$ die Clebsch-Gordan-Koeffizienten.

Kategorie: Quantenmechanik

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