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Clebsch-Gordan-Koeffizient



Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten finden ihre Verwendung in der Kopplung quantenmechanischer Drehimpulse. Es handelt sich dabei um Entwicklungskoeffizienten, mit denen man aus der Basis der Einzeldrehimpulse in die Basis des Gesamtdrehimpulses übergeht. Sie werden zur Berechnung der Spin-Bahn-Kopplung sowie im Isospin-Formalismus verwendet.

Sie wurden nach Alfred Clebsch (1833-1872) und Paul Albert Gordan (1837-1912) benannt.

Man geht von zwei Drehimpulsen J1 und J2 aus, die jeweils die Quantenzahlen j1 und m1 (z-Komponente), bzw. j2 und m2 besitzen. Dabei nehmen m1 und m2 folgende Werte an: m1 = [ − j1..j1] und m2 = [ − j2..j2] und die Drehimpulse vertauschen untereinander: [J1,J2] = 0 (s. Quantenmechanischer Kommutator). Das bedeutet, daß man die einzelnen Drehimpulse unabhängig von einander scharf messen kann. Jeder dieser Drehimpulse hat seinen eigenen Eigenraum, der durch die Eigenvektoren \left| j_1, m_1 \right\rangle bzw. \left| j_2, m_2 \right\rangle aufgespannt wird. In der Basis dieser Eigenvektoren \left| j_1, m_1 \right\rangle hat J1 eine einfache diagonale Gestalt; analoges gilt für J2.


Nun koppeln die einzelnen Drehimpulse J1 und J2 zu einem Gesamtdrehimpuls \vec{J} = \vec{J_1} + \vec{J_2} (Addition der einzelnen Komponenten). Dieser Gesamtdrehimpuls besitzt nun die Quantenzahlen J und M, die folgende Werte annehmen können: | j_1 - j_2 | \le J \le | j_1 + j_2 | und M = [ − J,...,J] (in ganzzahligen Schritten).

Da der Gesamtdrehimpuls J aus beiden Drehimpulsen J1 und J2 besteht, kann er im Produktraum der einzelnen Eigenzustände dargestellt werden. \left| j_1, m_1; j_2, m_2 \right\rangle = \left| j_1, m_1 \right\rangle \otimes  \left| j_2, m_2 \right\rangle

Allerdings sind dies keine Eigenvektoren des Gesamtdrehimpulses J, so dass er in dieser Basis keine Diagonalgestalt besitzt. Die Eigenvektoren von J werden durch die Quantenzahlen J, M, J1 und J2 eindeutig festgelegt. In diesen neuen Eigenvektoren hat der Gesamtdrehimpuls J wieder eine einfache Diagonalgestalt. Es gilt:

\vec{J}^2 \left| J, M, j_1, j_2 \right\rangle = J(J+1) \hbar^2 \left| J, M, j_1, j_2 \right\rangle

J_z \left| J, M, j_1, j_2 \right\rangle = M \hbar \left| J, M, j_1, j_2 \right\rangle


Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten geben nun den Übergang der Produktbasis \left| j_1, m_1; j_2, m_2   \right\rangle in die Eigenbasis \left| J, M, j_1, j_2 \right\rangle an.

\left| J, M, j_1, j_2 \right\rangle = \sum_{m_1, m_2} \left| j_1, m_1; j_2, m_2 \right\rangle \langle\ j_1, m_1; j_2, m_2 | J, M, j_1, j_2 \rangle

Dabei sind \langle\ j_1, m_1; j_2, m_2 | J, M, j_1, j_2 \rangle die Clebsch-Gordan-Koeffizienten.

 
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