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Clifford-AlgebraDie Clifford-Algebra (nach William Kingdon Clifford) dient in der Mathematik und dort in der Differentialgeometrie sowie in der Quantenphysik der Definition der Spin-Gruppe und in ihren Darstellungen der Konstruktion von Spinorfeldern/bündeln, die wiederum zur Beschreibung von Elektronen und anderen Elementarteilchen sowie zur Bestimmung von Invarianten auf Mannigfaltigkeiten dienen. Weiteres empfehlenswertes Fachwissen
Die Frage nach komplexen EinheitenEs gibt in der Mathematik Zahlensysteme (Divisionsalgebra mit 1) mit komplexen Einheiten, genauer die komplexen Zahlen, die Quaternionen und Oktaven. In diesen können jeweils 1, 3 oder 7 Elemente fixiert werden, welche mit der 1 zusammen den Zahlenraum als reellen Vektorraum aufspannen und welche (nicht nur) erfüllen. Manchmal reicht das nicht aus. Es werden zu einer beliebigen Anzahl n Strukturen gesucht, welche die reellen Zahlen und Elemente enthalten und in der ein Produkt ° definiert ist, welches die Bedingungen erfüllt, wobei δkl das Kroneckersymbol ist und . Die Elemente heißen die Erzeugenden oder Generatoren der Clifford-Algebra. Das Produkt aller Erzeugenden wird durch ω bezeichnet, . Das Quadrat von ω kann +1 oder -1 sein. Diese Struktur ist, bis auf die genannten Beispiele, kein Zahlensystem, sondern kann nur als Algebra realisiert werden, in welcher die Erzeugende sind. Eine solche Algebra wird Clifford-Algebra genannt, nach William Kingdon Clifford, der sie im Jahr 1878 entdeckt hat. Sie wird mit Cl(p,q) oder Cl(p,q,ℝ) bezeichnet, falls
Bis hierher haben wir formale Rechenregeln aufgestellt, wissen aber noch nichts über die Existenz, Eindeutigkeit und Struktur einer solchen Algebra. Dieses Problem ist sofort gelöst, wenn man die Clifford-Algebra als Teil einer reellen Matrixalgebra darstellen kann. Beispiele
ÜberleitungIm mathematischen Teil werden die Rechenregeln durch eine universelle Eigenschaft ergänzt und die Clifford-Algebra aus einer Tensoralgebra konstruiert. Es sei vorerst nur angemerkt, dass die Erzeugenden einen (Unter-)Vektorraum V der Dimension n=p+q innerhalb der Algebra aufspannen. Summiert man die definierende Eigenschaft über die Koordinatendarstellung eines Vektors dieses Vektorraums, so ergibt sich eine koordinatenfreie (für Physiker: kovariante) Darstellung dieser:
eine quadratische Funktion auf V ist, welche ein (Pseudo-)Skalarprodukt definiert:
Die Erzeugenden bilden dann eine Orthonormalbasis auf (V, 〈, 〉). Ein solches Paar aus reellem Vektorraum und darauf definierter quadratischer Funktion (V,Q) ist der Ausgangspunkt für die mathematische Theorie der Clifford-Algebren. Mathematische DefinitionEs sei V ein -Vektorraum. Eine Funktion heißt quadratische Form, falls es eine zugeordnete symmetrische Bilinearform gibt mit Q(v)=q(v,v). In der Mathematik ist die Clifford-Algebra (nach William Kingdon Clifford) Cl(V,Q) eines reellen Vektorraums V mit quadratischer Form Q eine (Universalkonstruktion) assoziative Algebra,
die die universelle Eigenschaft erfüllt
Es sei im folgenden V mit seiner Einbettung j(V) identifiziert (d.h., wir lassen das j weg). Konstruktion in der TensoralgebraIn der Tensoralgebra sei das Ideal definiert. Dann ist der Quotient eine Realisierung der Clifford-Algebra Cl(V,Q). Spezielle Clifford-AlgebrenFalls V ein Spaltenvektorraum mit euklidischem Skalarprodukt ist, , so wird die Clifford-Algebra auch mit Cl(n,0) bezeichnet. Die Erzeugenden sind dann die kanonischen Basisvektoren , die quadratische Form die Quadratsumme der Koordinaten. Ist der Raum ein Minkowski-Raum der Signatur (p,q) mit Dimension n:=p+q, d.h. die quadratische Form ist gegeben durch
so wird die Clifford-Algebra auch mit bezeichnet. Zu jeder Clifford-Algebra kann auch die komplexifizierte Algebra definiert werden, hier sind alle Bilinearformen zueinander isomorph. GraduierungDie Abbildung erfüllt ebenfalls die definierende Identität j − (v)2 = − Q(v), somit gibt es einen Algebrenisomorphismus mit κ(v)=-v für alle v∈V und κ²=id. Damit zerfällt die Clifford-Algebra in einen geraden Teil Cl0(V,Q)=Kern(id-κ)=Bild(id+κ) und einen ungeraden Teil Cl1(V,Q)=Kern(id+κ)=Bild(id-κ). Diese Zerlegung erzeugt eine –Graduierung der Algebra, Produkte gerade-gerade und ungerade-ungerade ergeben gerade Elemente, Produkte gerade-ungerade ergeben ungerade Elemente. So sind Produkte mit einer geraden Anzahl von Faktoren aus V gerade, Produkte mit einer ungeraden Anzahl von Faktoren aus V ungerade Cl0(V,Q) ist eine Unteralgebra der Clifford-Algebra und wird auch als zweite Clifford-Algebra bezeichnet, Cl1(V,Q) ist ein lediglich ein Modul bezüglich Cl0(V,Q). Beziehung zur Graßmann-AlgebraDie Graßmann–Algebra ΛV eines reellen Vektorraumes V ist die Clifford-Algebra Cl(V,0) mit der trivialen quadratischen Form Q≡0. Innerhalb einer beliebigen Clifford-Algebra kann die Graßmann-Algebra konstruiert werden, indem das Keilprodukt als u∧v:=½(uv-vu) – und analog als alternierende Summe bei mehr als zwei Faktoren – definiert wird. Es kann umgekehrt jede Clifford-Algebra Cl(V,Q) innerhalb der Graßmann-Algebra ΛV konstruiert werden, indem in dieser ein neues Produkt ° definiert wird als
Die Dimension der Algebra bleibt dabei erhalten, sie ist 2n bei n=dim(v). Diese Beziehung ist u.a. für die Quantisierung supersymmetrischer Feldtheorien wichtig. Beziehung zur orthogonalen GruppeSei V ein Vektorraum mit nicht ausgearteter symmetrischer Bilinearform q und Q(v)=q(v,v). In der Clifford-Algebra Cl(V,Q) können dann Spiegelungen in V dargestellt werden. Dazu wird eine elementare Folgerung aus der Struktur des Produkts benutzt:
Ist v ein Einheitsvektor, |〈v,v〉|=1, so ist die Abbildung v↦S(v)x:=vxv die Spiegelung an der zu v senkrechten Hyperebene. Jede Spiegelung ist eine orthogonale Abbildung, somit ist die von den Spiegelungen erzeugte Gruppe eine Untergruppe der orthogonalen Gruppe. Die Pin-GruppeUmgekehrt lässt sich jede orthogonale Abbildung in ein Produkt aus Spiegelungen zerlegen, s. Householdertransformation bzw. QR-Zerlegung. Die Zerlegung ist nicht eindeutig, aber die Clifford-Produkte der Einheitsvektoren der Spiegelmatrizen unterscheiden sich höchstens im Vorzeichen. Betrachten wir solche Produkte. Wir definieren zunächst die sog. "Pin"-Gruppe aller Produkte von Einheitsvektoren:
Es gibt Produkte, deren Faktoren unterschiedlich sind, die aber das selbe Element der Pin-Gruppe bezeichnen, z.B. ist mit orthogonalen Einheitsvektoren v und w und jedem Paar (c,s)=(cosα, sinα) gilt
Jedoch gilt, dass jedem Element aus Pin(V) genau eine orthogonale Abbildung entspricht, unabhängig von der gewählten Faktorisierung. Weiter ist bekannt, dass
Die Spin-GruppePhysikalisch und geometrisch bedeutsam ist aber eine Untergruppe der Pin-Gruppe, die Spin-Gruppe der Produkte mit gerader Anzahl von Faktoren (aus dem Wortspiel "spezielle Pin-Gruppe" ergab sich der Begriff "Pin"-Gruppe). Von dieser ist bekannt, dass sie ebenfalls eine zweifache Überlagerung der speziellen orthogonalen Gruppe SO(V) ist, sowie dass sie einfach zusammenhängend ist, d.h. selbst nur noch triviale Überlagerungen zulässt. Da die Matrixgruppe SO(n) eine Darstellung vom Gewicht 2 von Spin(n) ist, sagt man in der Physik auch, dass Darstellungen der Spin-Gruppe vom Gewicht 1 Spin-1/2-Darstellungen der orthogonalen Gruppe seien. DarstellungenEine Darstellung einer Algebra ist eine Einbettung dieser in die Algebra der Endomorphismen eines Vektorraums, also (nach Basiswahl) in eine Matrixalgebra. Dabei können die Matrizen reelle, komplexe oder quaternionische Einträge haben.
Im komplexifizierten Fall ergibt sich ein einfacheres Bild:
Dabei gelten folgende allgemeinen Isomorphien:
Niedrigdimensionale BeispieleDie Dimension von Cl(p,q) als reeller Vektorraum ist 2p+q. Damit lässt sich die Clifford-Algebra durch reelle Matrizen dieser Dimension darstellen, welche die Multiplikation in der Algebra beschreiben. Diese Darstellung ist nicht minimal, d.h. es gibt Matrizen geringerer Dimension, welche das gleiche leisten, siehe [1] und die Beispiele unten.
Quantenphysikalisch bedeutsame Beispiele
Literatur
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Dieser Artikel basiert auf dem Artikel Clifford-Algebra aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation. In der Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar. |