Debye-Modell

In der Festkörperphysik beschreibt das Debye-Modell (nach Peter Debye) eine Methode, um den Beitrag der Gitterschwingungen (Phononen) zur Wärmekapazität eines kristallinen Festkörpers zu berechnen.

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Grundlagen des Modells

  Gegenüber dem Einstein-Modell, welches N unabhängige Oszillatoren mit gleicher Frequenz annimmt, berücksichtigt das Debye-Modell die Existenz einer Dispersionsrelation, d. h. einer Vielzahl möglicher Frequenzen in Abhängigkeit vom Wellenvektor.

Die Phononendispersion wird als linear bis hin zu einer oberen Grenzfrequenz (Debyefrequenz) angenommen. Die obere Grenzfrequenz ergibt sich, wenn man alle Moden aufaddiert, da die Gesamtanzahl der Moden mit der Anzahl der Atome übereinstimmen muss, d. h., dass die Grenzfrequenz im Debye-Modell niedriger ist, als die von einem harmonischen Oszillatoransatz (siehe Bild).

Ergebnisse des Modells

Dieses Modell trifft korrekte Voraussagen über die T³ - Abhängigkeit der Wärmekapazität im Niedrigtemperaturlimit. Für (die Debye-Temperatur) gilt für den Phononen-Anteil der molaren Wärmekapazität mit r Atomen pro Elementarzelle

Wie das Einstein-Modell liefert das Debye-Modell für T > Θ_D das korrekte Hochtemperaturlimit nach Dulong-Petit. Das Debye-Modell nähert die Dispersionsrelation von Phononen linear , wobei zusätzlich transversale und longitudinale Geschwindigkeit als gleich angenommen wurden. Dadurch wird die Phononendichte

Da diese Dichte für hohe ω divergiert, muss die Dichte bei einer bestimmten (materialabhängigen) Frequenz ω_max abgeschnitten werden. Diese Grenzfrequenz wird oft als Temperatur einer gleich-energetischen thermischen Anregung angegeben.

Die Abhängigkeit

mit und

ist allerdings nicht allgemein analytisch, sondern nur numerisch oder für Teile der Temperaturskala genähert lösbar, wie oben für kleine Temperaturen.