Meine Merkliste

Debye-Modell

In der Festkörperphysik beschreibt das Debye-Modell (nach Peter Debye) eine Methode, um den Beitrag der Gitterschwingungen (Phononen) zur Wärmekapazität eines kristallinen Festkörpers zu berechnen.

Weiteres empfehlenswertes Fachwissen

Erkennen Sie die Auswirkungen elektrostatischer Aufladungen auf Ihre Waage

Wie erhalten Sie Tag für Tag genaue Wägeresultate?

Leitfaden für die Waagenreinigung: 8 einfache Schritte

Grundlagen des Modells

Gegenüber dem Einstein-Modell, welches N unabhängige Oszillatoren mit gleicher Frequenz annimmt, berücksichtigt das Debye-Modell die Existenz einer Dispersionsrelation, d. h. einer Vielzahl möglicher Frequenzen in Abhängigkeit vom Wellenvektor.

Die Phononendispersion wird als linear bis hin zu einer oberen Grenzfrequenz (Debyefrequenz) angenommen. Die obere Grenzfrequenz ergibt sich, wenn man alle Moden aufaddiert, da die Gesamtanzahl der Moden mit der Anzahl der Atome übereinstimmen muss, d. h., dass die Grenzfrequenz im Debye-Modell niedriger ist, als die von einem harmonischen Oszillatoransatz (siehe Bild).

Ergebnisse des Modells

Debye-Temperaturen verschiedener Materialien
	$Θ D$ in K
Blei	95
Natrium	160
Gold	165
Silber	225
Kupfer	345
Aluminium	428
$α$ -Eisen	464
Chrom	610
Diamant	1850

Dieses Modell trifft korrekte Voraussagen über die $T 3$ - Abhängigkeit der Wärmekapazität im Niedrigtemperaturlimit. Für $T \ll \Theta_D$ (die Debye-Temperatur) gilt für den Phononen-Anteil der molaren Wärmekapazität mit r Atomen pro Elementarzelle

$C = {12 r R \pi^4 \over 5}k_B {T^3 \over \Theta_D^3 }$

Wie das Einstein-Modell liefert das Debye-Modell für $T > Θ D$ das korrekte Hochtemperaturlimit nach Dulong-Petit. Das Debye-Modell nähert die Dispersionsrelation von Phononen linear $\omega = v_\mathrm{Schall} \cdot k$ , wobei zusätzlich transversale und longitudinale Geschwindigkeit als gleich angenommen wurden. Dadurch wird die Phononendichte

$g = {\mathrm dN \over \mathrm d\omega} = {3 \omega^2 \over {2 \pi^2 v_{S}^3}}$

Da diese Dichte für hohe $ω$ divergiert, muss die Dichte bei einer bestimmten (materialabhängigen) Frequenz $ω m a x$ abgeschnitten werden. Diese Grenzfrequenz wird oft als Temperatur einer gleich-energetischen thermischen Anregung angegeben.

Die Abhängigkeit

$C=\partial_T U$ mit $U = 3 \int_0^{\omega_\mathrm{max}} {g(\omega) \hbar \omega \over e^{\hbar \omega \over k_B T} - 1 } \mathrm d\omega$ und $\omega_{max}= { \Theta_D k_B \over \hbar }$

ist allerdings nicht allgemein analytisch, sondern nur numerisch oder für Teile der Temperaturskala genähert lösbar, wie oben für kleine Temperaturen.

Kategorie: Festkörperphysik

Dieser Artikel basiert auf dem Artikel Debye-Modell aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation. In der Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.

Die Fachportale von LUMITOS