Deutsch-Jozsa-Algorithmus

Der Algorithmus von Deutsch ist ein Algorithmus für Quantencomputer, mit dem man bestimmen kann, ob eine auf einem Bit operierende Funktion konstant oder balanciert ist. Diese Aufgabenstellung ist unter dem Namen Problem von Deutsch bekannt. Der Algorithmus von Deutsch ist zwar kaum von praktischem Nutzen, er war jedoch historisch der erste Quantenalgorithmus, der eine Aufgabenstellung nachweisbar schneller löst als ein klassischer Algorithmus und damit die theoretischen Möglichkeiten von Quantencomputern aufzeigt.

Eine Verallgemeinerung ist der Deutsch-Jozsa-Algorithmus. Dabei wird das Problem von Deutsch auf mehrere Bits übertragen.

Die Algorithmen wurden nach ihren Urhebern David Deutsch und Richard Jozsa benannt.

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Geschichte

In einer Arbeit von 1985 beschäftigte sich David Deutsch mit dem Speziallfall des Problems (Problem von Deutsch, Anzahl der Eingabebits: 1).^[1]

1992 wurde die Idee durch David Deutsch und Richard Jozsa verallgemeinert (Problem von Deutsch-Jozsa, beliebig viele Eingabebits).^[2]

Der von Deutsch ursprünglich vorgeschlagene Algorithmus war de facto nicht deterministisch. Er war mit einer Wahrscheinlichkeit von ein halb erfolgreich. Der originale Deutsch-Jozsa-Algorithmus war zwar deterministisch, benötigte jedoch im Gegensatz zum Algorithmus von Deutsch zwei Funktionsauswertungen statt nur einer.

Durch R. Cleve, A. Ekert, C. Macchiavello und M. Mosca wurden 1998 weitere Verbesserungen vorgenommen, so dass man jetzt nur noch eine Funktionsauswertung benötigt und trotzdem deterministisch bleibt.^[3].

Der Deutsch-Jozsa-Algorithmus diente als Inspiration für den Shor-Algorithmus und den Grover-Algorithmus, zwei der revolutionärsten Quantenlgorithmen. ^[4]^[5]

Das Problem von Deutsch

Problemformulierung

Gegeben sei eine Funktion $f: \lbrace0,1\rbrace \mapsto \lbrace0,1\rbrace$ . Es gilt nun herauszufinden, ob die gegebene Funktion konstant ist ( $f (0) = f (1)$ ) oder balanciert/gleichgewichtig ( $f(0) \neq f(1)$ ). Dabei ist zu beachten, dass $f$ uns nur als Black Box gegeben ist, wir also dessen genaue Definition nicht kennen. Uns steht mehr ein Bauteil zur Verfügung, welches uns zu einem Bit $b$ den Wert $f (b)$ berrechnet. Um die Bedeutung des Algorithmus von Deutsch zu unterstreichen, sollten wir davon ausgehen, dass die Benutzung dieses Bauteils "teuer" ist.

Zur Veranschaulichung kann man sich vorstellen, dass man entscheiden soll, ob eine gegebene Münze fair (Kopf auf der einen Seite, Zahl auf der anderen) oder unfair (Kopf oder Zahl auf beiden Seiten der Münze) ist.

Klassische Lösung

Auf klassischem Wege bleibt nichts weiter übrig als die Funktion sowohl für $f (0)$ als auch $f (1)$ auszuwerten und zu vergleichen. Das entspricht dem Betrachten einer Münze auf beiden Seiten. Die Black Box (oder auch Orakel) wird also zwei mal benötigt. Im Folgenden wird gezeigt, dass der Quantenalgorithmus von Deutsch mit nur einem Aufruf auskommt. Dies bringt uns einen Vorteil, wenn wir bedenken, dass nach unserer Annahme ein Aufruf sehr teuer ist (jedoch sind die Kosten asymptotisch gleich).

Der Quantenalgorithmus

Hinweis: Zum Verständnis des nachfolgenden Abschnittes werden Kenntnisse über die prinzipielle Funktionsweise von Quantencomputern benötigt.

Der Quantenalgorithmus wendet die gegebene Funktion auf eine Superposition der beiden möglichen Eingaben an. Durch geschickte Auswertung erhält er somit mit nur einmaliger Anwendung des Orakels ausreichend Information über $f (0)$ und $f (1)$ .

Da in der Quanteninformatik alle Rechenschritte umkehrbar sein müssen, brauchen wir eine spezielle Variante von $f$ , beschrieben durch die Abbildung

$U_f: |x\rangle |y\rangle \mapsto |x\rangle |f(x)\oplus y\rangle$

Der Algorithmus verwendet ein Register von zwei Qubits $|x\rangle|y\rangle$ und besteht aus folgenden Schritten:

Initialisiere wie folgt:
$\begin{align}|x\rangle|y\rangle &\leftarrow |0\rangle|1\rangle\\& = |a\rangle\end{align}$
Wende die Hadamard-Transformation $H$ auf beide Qubits an:
$\begin{align}|x\rangle|y\rangle &\leftarrow H|x\rangle H|y\rangle\\& = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle +|1\rangle)\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle -|1\rangle)\\& = \frac{1}{2}(|0\rangle|0\rangle - |0\rangle|1\rangle + |1\rangle|0\rangle - |1\rangle|1\rangle)\\& = |b\rangle\end{align}$
Werte $U f$ aus:
$\begin{align}|x\rangle|y\rangle &\leftarrow U_f|x\rangle|y\rangle\\&=\frac{1}{2}(|0\rangle|0\oplus f(0)\rangle - |0\rangle|1\oplus f(0)\rangle + |1\rangle|0 \oplus f(1)\rangle - |1\rangle|1 \oplus f(1)\rangle)\\&= \frac{1}{2}(|0\rangle \cdot (|f(0)\rangle - |1 \oplus f(0)\rangle) + |1\rangle \cdot (|f(1)\rangle + |1 \oplus f(1)\rangle))\\&= \frac{1}{2}((-1)^{f(0}|0\rangle\cdot(|0\rangle-|1\rangle)+(-1)^{f(1)}|1\rangle\cdot(|0\rangle-|1\rangle)\\&=\frac{1}{2}((-1)^{f(0)}|0\rangle + (-1)^{f(1)}|1\rangle)\cdot(|0\rangle - |1\rangle)\\&=|c\rangle\end{align}$
$|c\rangle$ ist im konstanten Fall $\frac{1}{2}(\pm(|0\rangle + |1\rangle))\cdot(|0\rangle - |1\rangle)$ und sonst $\frac{1}{2}(\pm(|0\rangle - |1\rangle))\cdot(|0\rangle - |1\rangle)$
Wende die Hadamard-Transformation $H$ auf das erste Qubit an:
$|x\rangle \leftarrow H|x\rangle$
Messe das erste Qubit:
Hat $|x\rangle$ den Wert $|0\rangle$ , so ist $f$ konstant, ansonsten balanciert.

Der Trick besteht also darin, dass wir die Funktionswerte in die Amplitude verlagern.

Realisierung

Über die erste experimentelle Realisierung wurde von S. Gulde in Nature 421, 48 (2003) berichtet. Die dafür benötigten Qubits wurden durch den elektronischen und vibratorischen Freiheitsgrad eines $C a +$ -Ions in einer Falle implementiert.