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Dirac-MatrizenDie Dirac-Matrizen sind ein Satz von vier Matrizen, die in der Dirac-Gleichung als Koeffizienten auftreten. Weiteres empfehlenswertes Fachwissen
„Herleitung“ und DefinitionBei der ursprünglichen Herleitung der Dirac-Gleichung treten vier Koeffizienten αi, i=1..3 und β auf:
Aufgrund der Tatsache, dass das „Quadrat“ dieser Gleichung die Klein-Gordon-Gleichung reproduzieren soll, ergeben sich bestimmte Bedingungen an diese Koeffizienten:
Hierbei tritt der Antikommutator auf. Aus der zweiten Bedingung folgt, dass die Koeffizienten keine Zahlen sein können. Damit müssen diese Koeffizienten quadratische Matrizen sein. Demnach steht die '1' in der ersten Bedingung für die Einheitsmatrix. Einen weiteren Hinweis liefert die Spur; es kann gezeigt werden, dass alle vier Matrizen spurfrei sein müssen. In Verbindung mit der ersten der obigen Bedingungen bedeutet dies, dass Zahl der Zeilen und Spalten gerade sein muss. Der erste Kandidat wären demnach -Matrizen, aber davon gibt es nur drei unabhängige antikommutierende, nämlich die Pauli-Matrizen σi. Demnach schreiben wir die Koeffizienten als -Matrizen. Eine mögliche Darstellung lautet: Diese Matrizen lassen sich kompakter mit Hilfe der Pauli-Matrizen schreiben (jeder Eintrag steht hier für eine -Matrix): Um die Dirac-Gleichung kompakter schreiben zu können, definieren wir nun die Diracschen Gamma-Matrizen: Damit schreibt sich die Dirac-Gleichung:
Nach dem ersten Gleichheitszeichen wurde hierbei die Feynmansche Slash-Schreibweise verwendet (genannt „Feynman-Dolch“, oder „Feynman-Dagger“), wobei über die μ von 0 bis 3 zu summieren ist. EigenschaftenDie definierende Eigenschaft der Gamma-Matrizen ist die folgende Antikommutator-Relation: Für alle Dirac-Matrizen gilt: Hierbei kommt die Minkowski-Metrik gμν zum Einsatz. Es gilt: Diese Antikommutator-Relation bedeutet, dass die Dirac-Matrizen eine Clifford-Algebra bilden. Die zu Grunde liegende Gruppe ist die Lorentz-Gruppe. Das bedeutet, dass die sechs Kommutatoren der Gamma-Matrizen
Generatoren der Lorentz-Gruppe sind. Ferner ist der Index μ an den Gamma-Matrizen ein echter Lorentz-Index. Das bedeutet, dass sich für zwei Dirac-Spinoren ψ und χ der Vektor mit den Einträgen wie ein normaler 4-Vektor unter Lorentz-Transformationen verhält. Zweckmäßigerweise wird meist noch eine weitere Gamma-Matrix definiert:
Sie hat folgende Eigenschaften: DarstellungenDie obige Wahl für die Koeffizienten-Matrizen und damit für die Gamma-Matrizen ist nicht eindeutig. In der Tat sind alle Matrizen, die über Ähnlichkeitstransformationen aus den obigen Matrizen hervorgehen, Darstellungen der Clifford-Algebra. Dirac-Pauli DarstellungIn der oben gewählten Darstellung, die Dirac-Pauli Darstellung genannt wird, kann man den Spinor in eine große und eine kleine Komponente aufspalten. Weyl DarstellungEine weitere, gerne verwendete Darstellung ist die nach Hermann Weyl benannte Weyl Darstellung, die auch chirale Darstellung genannt wird. Diese Darstellung ist von besonderen Bedeutung in der Weyl-Gleichung. Im Vergleich zur Dirac-Pauli Darstellung ist einfach γ0 mit γ5 vertauscht: Dies wird häufig auch als mit geschrieben. Die Chiralität eines Dirac-Felds ist definiert als einer der beiden Eigenwerte des Operators γ5, also +1 oder -1. In der Weyl Darstellung ist γ5 diagonal und man kann die Projektoren auf die rechts- und linkshändigen Komponente des Teilchens einfach ausdrücken: Deshalb läßt sich ein Spinor in der Weyl Darstellung ψW schreiben als mit die Komponenten des Spinors in der Dirac Darstellung. Majorana DarstellungEine "reelle Darstellung" der Dirac-Matrizen ist die Majorana-Darstellung, in der alle Gamma-Matrizen imaginär sind. Bücher
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Dieser Artikel basiert auf dem Artikel Dirac-Matrizen aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation. In der Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar. |