Dispersion (Phononen)

Die Dispersion bezeichnet allgemein die Abhängigkeit der Kreisfrequenz ω von der Wellenzahl k. Bei Phononen ergibt sich diese Beziehung aus der Newtonschen Bewegungsgleichung. Dazu nimmt man an, dass sich die Atome in einem periodischen Potential V befinden, in dem sie Schwingungen ausführen.

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Zwei benachbarte Atome haben einen Phasenunterschied von ka, wobei a der Abstand zweier benachbarter Atome in der Ruhelage ist. Ein Phasenunterschied von 2π entspricht einem von Null; höhere Phasenunterschiede sind dementsprechend äquivalent mit einem Wert zwischen 0 und 2π. Aus Symmetriegründen betrachtet man das Intervall zwischen − π und π. Das entspricht k-Werten aus der ersten Brillouinzone, also . Dadurch hat man alle physikalisch relevanten Wellenzahlen abgedeckt.

Es gibt zwei mögliche Schwingungszustände: akustische und optische Moden.  

Akustische Phononen

Hierfür lautet die Dispersionsrelation

,

wobei f die Kraftkonstante zwischen zwei benachbarten Ebenen und m die Masse eines Atoms ist.

Für niedrige Werte von lautet der Ausdruck näherungsweise

.

c_s ist die Schallgeschwindigkeit.

An den Zonengrenzen gilt

.

Die Gruppengeschwindigkeit, also die Geschwindigkeit des Energietransports im Medium, ergibt sich zu

.

Am Zonenrand ist die Gruppengeschwindigkeit Null: die Welle verhält sich wie eine stehende Welle.

Optische Phononen

Für den optischen Ast gilt bei einer zweiatomigen Basis

.

Der optische Zweig ist höherfrequent als der akustische und nahezu dispersionslos.