Dispersion (Phononen)

Die Dispersion bezeichnet allgemein die Abhängigkeit der Kreisfrequenz $ω$ von der Wellenzahl $k$ . Bei Phononen ergibt sich diese Beziehung aus der Newtonschen Bewegungsgleichung. Dazu nimmt man an, dass sich die Atome in einem periodischen Potential $V$ befinden, in dem sie Schwingungen ausführen.

Weiteres empfehlenswertes Fachwissen

Erkennen Sie die Auswirkungen elektrostatischer Aufladungen auf Ihre Waage

Tägliche Sichtkontrolle der Laborwaagen

Was ist der richtige Weg, um die Wiederholbarkeit bei Waagen zu überprüfen?

Zwei benachbarte Atome haben einen Phasenunterschied von $k a$ , wobei $a$ der Abstand zweier benachbarter Atome in der Ruhelage ist. Ein Phasenunterschied von $2π$ entspricht einem von Null; höhere Phasenunterschiede sind dementsprechend äquivalent mit einem Wert zwischen 0 und $2π$ . Aus Symmetriegründen betrachtet man das Intervall zwischen $- π$ und $π$ . Das entspricht k-Werten aus der ersten Brillouinzone, also $k\in\lbrack -\pi/a,\pi/a \rbrack$ . Dadurch hat man alle physikalisch relevanten Wellenzahlen abgedeckt.

Es gibt zwei mögliche Schwingungszustände: akustische und optische Moden.

Akustische Phononen

Hierfür lautet die Dispersionsrelation

$\omega (k) = 2 \sqrt{\frac{f}{m}} \left| \sin \left( \frac{k a}{2}\right) \right|$ ,

wobei f die Kraftkonstante zwischen zwei benachbarten Ebenen und m die Masse eines Atoms ist.

Für niedrige Werte von $k \left( a k \ll 1 \right)$ lautet der Ausdruck näherungsweise

$\omega (k) \approx a \sqrt{ \frac{f}{m}} |k|=c_s k$ .

c s

ist die Schallgeschwindigkeit.

An den Zonengrenzen gilt

$\omega = 2 \sqrt{ \frac{f}{m}}=\mathrm{const}$ .

Die Gruppengeschwindigkeit, also die Geschwindigkeit des Energietransports im Medium, ergibt sich zu

$v_g = \frac{ \mathrm{d} \omega}{ \mathrm{d}k}= \sqrt{ \frac{f a^2}{m}} \cos \left( \frac{1}{2}k a \right)$ .

Am Zonenrand ist die Gruppengeschwindigkeit Null: die Welle verhält sich wie eine stehende Welle.

Optische Phononen

Für den optischen Ast gilt bei einer zweiatomigen Basis

$\omega=\sqrt{2f \left( \frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2} \right)}$ .

Der optische Zweig ist höherfrequent als der akustische und nahezu dispersionslos.

Kategorie: Quantenphysik

Dieser Artikel basiert auf dem Artikel Dispersion_(Phononen) aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation. In der Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.

Die Fachportale von LUMITOS