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Drehimpulsoperator

Drehimpulsoperator

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Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Bahndrehimpuls
3 Ortsdarstellung des Bahndrehimpulses in kartesischen Koordinaten
4 Ortsdarstellung des Bahndrehimpulses in sphärischen Koordinaten

Definition

Einem physikalischen System (z.B.:Teilchen) wird ein Zustandsvektor $Ψ$ zugewiesen. Solch ein Zustandsvektor ist Element eines Hilbertraumes H und die Observablen werden durch selbstadjungierte lineare Operatoren auf diesem Raum repräsentiert.

Unter einem Drehimpulsoperator versteht man einen Vektoroperator $\hat{\mathbf{J}}=(\hat{J}_x,\hat{J}_y,\hat{J}_z)$ , dessen Komponenten der Kommutatorrelation: $[\hat{J}_k,\hat{J}_n]=i\hbar\epsilon_{knm}\hat{J}_m$ genügen. Hierbei wurde vom Epsilon-Tensor und der Einsteinschen Summenkonvention, also der Summation über doppelt auftretende Indizes, Gebrauch gemacht.

Da die Komponenten des Drehimpulsoperators per Definition nicht vertauschen, geht man häufig zu den gemeinsamen Eigenvektoren von $\hat{\mathbf{J}}^2$ und einer beliebigen Drehimpulskomponente (üblicherweise $\hat{J}_z$ ) über.

Bahndrehimpuls

Eine spezielle Realisierung eines Drehimpulses stellt der Bahndrehimpulsoperator dar. Dieser ist (überlichweise einheitenlos mit $\hbar$ ) wie folgt definiert:

$\hat{\mathbf{L}}= {1\over \hbar}\, \hat{\mathbf{r}} \times \hat{\mathbf{p}}= {1\over \hbar}\, \varepsilon_{ijk}\hat{r}_j \hat{p}_k\mathbf{e_i}$

Dabei ist $\hat{\mathbf{r}}$ der Ortsoperator, $\hat{\mathbf{p}}$ der Impulsoperator und $\mathbf{e}_i$ der i-te Einheitsvektor.

Somit beschreibt: $E(\hat{L}_i)=\langle \Psi|\hat{L}_i |\Psi\rangle$ den Mittelwert (Erwartungswert) der Messergebnisse bei Messung der i-ten Bahndrehimpulskomponente des Teilchens im Zustand $Ψ$ .

Ortsdarstellung des Bahndrehimpulses in kartesischen Koordinaten

Für den Impulsoperator bzw. Ortsoperator gelten in Ortsraumdarstellung $\hat{\mathbf{p}}={\hbar \over i} \nabla$ bzw. $\hat{\mathbf{r}}= r$ . Dies in $\hat{\mathbf{L}}= \hat{\mathbf{r}} \times \hat{\mathbf{p}}$ eingesetzt, ergibt mit $\nabla =({\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z})$ :

$\hat{\mathbf{L}}_x = {\hbar \over i} \left(y {\partial \over \partial z} - z {\partial \over \partial y} \right)$

$\hat{\mathbf{L}}_y = {\hbar \over i} \left(z {\partial \over \partial x} - x {\partial \over \partial z} \right)$

$\hat{\mathbf{L}}_z = {\hbar \over i} \left(x {\partial \over \partial y} - y {\partial \over \partial x} \right)$

Ortsdarstellung des Bahndrehimpulses in sphärischen Koordinaten

In Kugelkoordinaten ist $\nabla = \left({\partial \over \partial r}, {1 \over r} {\partial \over \partial \theta}, {1 \over r \sin \theta} {\partial \over \partial \phi} \right)$ .

Kategorie: Quantenphysik

Dieser Artikel basiert auf dem Artikel Drehimpulsoperator aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation. In der Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.