Ebene Welle

  Eine ebene Welle ist eine im Raum fortschreitende Welle, deren Flächen gleicher Phase, also ihre Wellenfronten, Ebenen sind. Gleichbedeutend damit ist, dass sich die Welle geradlinig ausbreitet.

Ebene Wellen gehören zu den einfachsten Lösungen von Wellengleichungen, wie sie in der klassischen Mechanik, in der Elektrodynamik und in der Quantenmechanik auftreten. Weitere einfache Lösungen von Wellengleichungen sind die Zylinderwelle und die Kugelwelle.

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Mathematische Beschreibung einer ebenen Welle

Eine ebene Welle wird am einfachsten beschrieben, wenn das Koordinatensystem so gewählt wird, dass die x-Achse der Ausbreitungsrichtung entspricht. Die Werte für jedes y und z sind dann identisch. In der Formel benötigt man dann nur noch die Parameter x und t. Verschiebt man zusätzlich den Nullpunkt auf der x-Achse auf einen Nulldurchgang bei t=0, so ergibt sich:

Die Welle wird also durch eine Sinusfunktion beschrieben.

G ist die sich ändernde Größe (Auslenkung, Dichte etc.). G hängt vom Ort x und der Zeit t ab.

G₀ ist der maximale Wert (die Amplitude) der Welle.

f ist die Frequenz.

c ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit.

φ ist die Phase.

Beschreibung einer ebenen Welle in der Quantenmechanik

Für die Beschreibung von freien Teilchen entfällt der Potentialteil der Schrödingergleichung, das heißt V(r,t)=0. Die Gleichung nimmt dann die Form einer Wellengleichung an.

Eine räumlich und zeitlich nicht lokalisierte, unendlich ausgedehnte ebene Welle ist Lösung dieser Wellengleichung. Sie kann in eindimensionaler Darstellung folgendermaßen angegeben werden:

Ψ(x,t) = Ae^{i(kx − ωt)}

(Anmerkung: Dies ist lediglich eine Darstellung einer Ebenen Welle mit Hilfe der komplexen Zahlen. Es steckt aber wiederum eine Sinusfunktion dahinter - siehe Eulersche Gleichung (Eulersche Identität).)

Ψ ist die (komplexe) Wellenfunktion oder Wahrscheinlichkeitsamplitude. Ihr kommt keine anschauliche Bedeutung zu. Das Quadrat des Betrags der Wellenfunktion ist die (reelle) Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens.

A ist die (komplexe) Amplitude der Welle.

k ist der Betrag des Wellenzahlvektors, im eindimensionalen Fall eine positive reelle Konstante.

x ist der Ortsparameter, an dem die Welle betrachtet wird.

ω ist die Kreisfrequenz der Welle (2πf).

t ist der Parameter für die Zeit.

Der Betrag des Impulses p der Welle hängt mit dem Betrag k des Wellenzahlvektors folgendermaßen zusammen:

.

h ist die Plancksche Wirkungsquantum.

In der angegebenen Darstellung einer eindimensionalen Ebenen Welle wird die imaginäre Einheit i verwendet, deren Quadrat -1 ist (vgl. die Darstellung komplexer Zahlen und Funktionentheorie).

Die mysteriöse Bedeutung von imaginär verschwindet, wenn man komplexe Zahlen zweidimensional betrachtet.

In zweidimensionaler Darstellung (x-y-Diagramm) beschreibt der Ausdruck e^iΦ einen rotierenden Zeiger im Einheitskreis, wenn Φ die reellen Zahlen durchläuft. Φ ist dann der Winkel des Zeigers gegenüber der x-Achse im Bogenmaß. Wegen e^iΦ = cosΦ + isinΦ (Eulersche Identität) ist der Abschnitt auf der x-Achse (der so genannte Realteil) die Kosinusfunktion cosΦ und der Abschnitt auf der y-Achse (der so genannte Imaginärteil), die Sinusfunktion sinΦ.

Der Faktor A verändert nur den Radius des Kreises, für den die Zeigerbewegung betrachtet wird. Während der Einheitskreis den Radius 1 hat, beschreibt Ae^iΦ eine Zeigerbewegung im Kreis mit dem Radius A.

Für Φ = kx − ωt erhält man eine Schwingung am Ort x, wenn x festgehalten wird und t alle möglichen Zeiten durchläuft.

Die Welle schwingt also am Ort x.

Hält man die Zeit t fest und betrachtet die Gestalt der Welle entlang der Zahlengeraden, so wiederholen sich die Funktionswerte. Hieraus erkennt man die Periodizität der Welle, bzw. ihre Wellengestalt.

Die Welle nimmt den Wert A an, wenn kx = ωt gilt. Hieraus folgt .

Bei einer Lichtwelle ist , d.h. es gilt x = ct, und hierfür nimmt die Welle den Wert A an.

c ist die konstante Lichtgeschwindigkeit. Für x = ct nimmt die Welle den Wert A an, man kann dies Ergebnis so interpretieren, dass die Amplitude der Welle mit der Geschwindigkeit c in x-Richtung fortschreitet.

Im dreidimensionalen Fall ist der Parameter k durch den Wellenzahlvektor k zu ersetzen. Dieser Vektor bestimmt dann die Ausbreitungsrichtung der Welle. Die Welle bildet eine Wellenfront aus, die in Richtung des Wellenzahlvektors fortschreitet.

Freie Teilchen in der Quantenmechanik

In der Quantenmechanik werden Ebene Wellen zur Beschreibung von freien Teilchen verwendet. Jede Welle ist durch einen exakten Impuls und eine exakte Energie charakterisiert. Ein durch eine einzelne ebene Welle beschriebenes Teilchen ist räumlich nicht lokalisiert. Es ist sozusagen über den ganzen Raum verteilt. Man kann die Ebene Welle als Modell z. B. zur Beschreibung eines Photons oder Elektrons in Zuständen mit definiertem Impuls verwenden.

Siehe auch

• | Kugelwelle | Nahfeld | Fernfeld |