Ebene kristallographische Gruppe

Die ebenen kristallographischen Gruppen sind die Symmetriegruppen von periodischen Mustern oder Parkettierungen der euklidischen Ebene. Im zweidimensionalen Raum gibt es siebzehn verschiedene kristallographische Raumgruppen.

Im Sinne der Gruppentheorie bestehen die Gruppen aus der Menge aller Kongruenzabbildungen, die das Muster auf sich selbst abbilden, zusammen mit der Komposition von Abbildungen als Gruppenoperation.

Alle 17 Symmetrieformen kommen in den Arabesken in der Alhambra in Spanien vor.

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Symmetrieelemente

Ein periodisches Muster kann Kombinationen der folgenden elementaren Symmetrieelemente aufweisen:

1. Translation (Verschiebung)
2. Achsenspiegelung
3. Gleitspiegelung, also eine Kombination aus Translation und Achsenspiegelung
4. Rotation
   • 2-zählig, also eine Drehung um 180° bzw. eine Punktspiegelung
   • 3-zählig, also eine Drehung um 120°
   • 4-zählig, also eine Drehung um 90°
   • 6-zählig, also eine Drehung um 60°

"Nur" diese oben x-zähligen Achsen kommen in der Natur vor, da sonst keine 360° zustande kommen (z.B.: 6 mal 60° = 360°)

Eine 4-zählige Rotationssymmetrie impliziert natürlich eine 2-zählige, genauso wie eine 6-zähliche sowohl eine 3-zähliche als auch eine 2-zählige impliziert. Es wird normalerweise für jedes Rotationszentrum jeweils nur der höchste Wert angegeben.

Jedes periodische Muster kann erzeugt werden, indem auf eine beschränkte Elementarzelle diese Operationen immer wieder angewandt werden, bis die gesamte Ebene parkettiert ist. Per Definition enthält die Symmetriegruppe eines periodischen Musters immer zwei linear unabhängige Translationen. Dadurch ist es auch möglich, allein durch wiederholte Verschiebung einer translativen Zelle das gesamte Muster zu erzeugen. Die translative Zelle enthält dabei eine oder mehrere Kopien der elementaren Zelle.

Notation

Orbifold-Notation

Die Eigenschaften einer Symmetriegruppe können auch durch die sogenannte Orbifold-Notation beschrieben werden.

• Ziffern n (2, 3, 4, 6) bezeichnen ein n-zähliges Rotationszentrum.
• Ein * steht für eine Spiegelachse.
  • Ziffern, die vor einem * stehen, liegen abseits der Spiegelachsen
  • Ziffern, die nach einem * stehen, liegen auf den Spiegelachsen
• Ein X steht für eine Gleitspiegelung.
• Ein O steht für keine Symmetrien abgesehen von den Translationen
• Die in jeder Gruppe vorkommenden Translationen werden nicht explizit notiert.

Kurzübersicht über alle Symmetriegruppen

Liste der Symmetriegruppen

Die in den Strukturdiagrammen angegebenen Elemente sind wie folgt gekennzeichnet:

Dabei sind unterschiedliche Äquivalenzklassen der Elemente durch unterschiedliche Farben und Drehungen gekennzeichnet.

Die gelb markierten Fläche kennzeichnet eine Elementarzelle, der gesamte abgebildete Bereich eine translative Zelle.

Gruppe p1

• Orbifold-Notation: O1.
• Diese Gruppe besitzt nur Verschiebung als einzige Form der Symmetrie.

Gruppe p2

• Orbifold-Notation: 2222.
• Diese Gruppe hat vier Klassen von Punktspiegelzentren. Diese zweizählige Drehung ist neben der Translation die einzige Symmetrieform.

Gruppe pm

• Orbifold-Notation: **.
• Diese Gruppe hat zwei zueinander parallele Spiegelachsen. Es existiert keine Rotationssymmetrie.

Gruppe pg

• Orbifold-Notation: XX.
• Diese Gruppe besitzt zwei zueinander parallele Gleitspiegelachsen. Es existiert keine Rotationssymmetrie.

Gruppe cm

• Orbifold-Notation: X.
• Diese Gruppe hat parallel zueinander abwechselnd Spiegelachsen und Gleitspiegelachsen.

Gruppe pmm

• Orbifold-Notation: *222.
• Diese Gruppe zeichnet sich durch aufeinander senkrecht stehende Spiegelachsen aus. An dem Schnittpunkt zweier Spiegelachsen ergeben sich zweizählige Drehzentren. Es gibt insgesamt vier Klassen von Drehzentren und vier Klassen von Spiegelachsen.

Gruppe pmg

• Orbifold-Notation: 22*.
• Hier gibt es eine einzelne Klasse von Spiegelachsen sowie senkrecht dazu zwei verschiedene Klassen von Gleitspiegelachsen, auf denen sich zweizählige Drehzentren ergeben.

Gruppe pgg

• Orbifold-Notation: 22X.
• Diese Gruppe hat keine einfache Achsensymmetrie, jedoch zwei zueinander senkrechte Gleitspiegelachsen, sowie zwei Klassen von Punktspiegelzentren.

Gruppe cmm

• Orbifold-Notation: 2*22.
• Diese Gruppe enthält zwei Klassen von Spiegelachsen, die aufeinander senkrecht stehen, mit zweizähligen Drehzentren an den Schnittpunkten. Eine zusätzliche Klasse von zweizähligen Drehzentren liegt abseits der Spiegelachsen. Dies führt auch zu zwei Klassen von Gleitspiegelachsen.

Gruppe p4

• Orbifold-Notation: 442.
• Diese Gruppe weist keine Form von Achsensymmetrie auf. Erkennungsmerkmal sind vierzählige Rotationen, zu denen es zwei Klassen von Zentren gibt. Dazwischen ergeben sich zweizählige Drehzentren.

Gruppe p4m

• Orbifold-Notation: *442.
• Diese Gruppe wird auch als p4mm bezeichnet.

Gruppe p4g

• Orbifold-Notation: 4*2.
• Diese Gruppe wird auch als p4gm bezeichnet.

Gruppe p3

• Orbifold-Notation: 333.

Gruppe p3m1

• Orbifold-Notation: *333.

Gruppe p31m

• Orbifold-Notation: 3*3.

Gruppe p6

• Orbifold-Notation: 632.

Gruppe p6m

• Orbifold-Notation: *632.
• Diese Gruppe wird auch als p6mm bezeichnet.

Siehe auch

• Symmetrie (Geometrie)
• Symmetriegruppe
• Kristallographische Raumgruppe
• Punktgruppe

Literatur

• Brank Grünbaum; G. C. Shephard: Tilings and Patterns. Freeman, New York 1987, ISBN 0-7167-1193-1.