Effektive Masse

Die effektive Masse (Formelsymbol meist m*) ist ein Begriff aus der Festkörperphysik (nicht zu verwechseln mit der reduzierten Masse aus der Newtonschen Mechanik).

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Sie bezeichnet die scheinbare Masse eines Teilchens in einem Kristall im Rahmen einer semiklassischen Beschreibung. Man kann zeigen, dass in vielen Situationen Elektronen und Löcher in einem Kristall auf elektrische und magnetische Felder ähnlich reagieren, als wären sie freie Teilchen im Vakuum, nur mit einer veränderten Masse. Diese effektive Masse wird überlicherweise in Einheiten der Elektronenmasse (m_e = 9,11×10^-31 kg) angegeben.

Die effektive Masse wird in Analogie zum zweiten Newtonschen Gesetz definiert ( $F =m \cdot a$ , Kraft gleich Masse mal Beschleunigung). Eine quantenmechanische Beschreibung des Kristall-Elektrons in einem äußeren elektrischen Feld E liefert die Bewegungsgleichung

$a = {{1} \over {\hbar^2}} \cdot {{d^2 \varepsilon} \over {d k^2}} qE$ ,

wobei a die Beschleunigung, $\hbar$ die Plancksche Konstante, k die Wellenzahl (oft etwas lax als Impuls bezeichnet, da $k = \frac{p}{\hbar}$ ), $\varepsilon(k)$ die Energie als Funktion von k (die Dispersionsrelation), und q die Ladung des Elektrons sind. Ein freies Elektron im Vakuum hingegen würde die Beschleunigung

$a = {{q} \over {m_e}}E$

erfahren. Somit beträgt die effektive Masse m* des Elektrons im Kristall

$m^{*} = \hbar^2 \cdot \left[ {{d^2 \varepsilon} \over {d k^2}} \right]^{-1}$ .

Für ein freies Teilchen ist die Dispersionsrelation quadratisch, und somit wäre die effektive Masse dann konstant (und gleich der tatsächlichen Elektronenmasse). In einem Kristall ist die Situation komplexer: Die Dispersionsrelation ist im Allgemeinen nicht quadratisch, was zu einer geschwindigkeitsabhängigen effektiven Masse führt, s. a. bei der Bandstruktur. Das Konzept der effektiven Masse ist deshalb am nützlichsten im Bereich von Minima oder Maxima der Dispersionsrelation, wo sie durch quadratische Funktionen angenähert werden kann.

Bei Elektronenenergien weit weg von solchen Extrema kann die effektive Masse auch negativ oder sogar unendlich werden. Man kann sich diese auf den ersten Blick eigenartige Eigenschaft im Wellenbild durch die Bragg-Reflexion im eindimensionalen Gitter erklären: Mit der Bragg-Bedingung

2 d sinθ = n λ

für die Reflexion an den Ionen„ebenen“, $\theta = 90^\circ$ und $λ = 2π / k$ folgt

$k = {{n \pi} \over {d}}$ .

Für kleine Beträge von k wird die Bedingung kaum erfüllt, die Elektronen bewegen sich entsprechend ihrer freien Masse m_e. Für größere Beträge von k wird zunehmend reflektiert, bis effektiv keine Beschleunigung durch ein elektrisches Feld möglich ist. Jetzt ist $m^* = \infty$ . Bei noch größeren k-Werten führt eine Beschleunigung durch ein externes Feld durch die Wirkung der internen Kräfte (Wechselwirkung mit Phononen im Teilchenbild) unter Umständen zu einer Beschleunigung entgegengesetzt zur erwarteten Richtung, die effektive Masse ist folglich negativ.

Die effektive Masse ist im Allgemeinen richtungsabhängig (bezüglich der Kristallachsen) und somit eine tensorielle Größe. Für den Tensor der effektiven Masse gilt:

$\left({1 \over m^{*}}\right)_{ij}={1 \over \hbar^2} \cdot \frac{\partial^2 \epsilon}{\partial k_i \partial k_j}$

Kategorie: Festkörperphysik

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