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Erzeugungs- und VernichtungsoperatorDie Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren, auch Hebe- und Senkoperatoren, sind der Kern einer eleganten Lösung der Schrödingergleichung des harmonischen Oszillators. Diese Operatoren können auch dazu benutzt werden, gewisse Probleme mit dem quantenmechanischen Drehimpuls einfacher zu lösen. Ferner finden die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren Verwendung bei der Quantisierung von Feldern (der sogenannten zweiten Quantisierung). Statt der Bezeichnung „Erzeugungsoperator“ wird manchmal auch Erschaffungsoperator verwendet. Es sei darauf hingewiesen, dass im deutschsprachigen Raum die Operatoren σ + und σ − , die die Zustände eines Atoms ändern, ebenfalls als Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren bezeichnet werden. Weiteres empfehlenswertes Fachwissen
DefinitionDie zeitunabhängige Schrödingergleichung des harmonischen Oszillators in Ortsdarstellung lautet
was durch einfache Umformung zu wird. Hiebei ist ψ die Wellenfunktion, E die Energie, d/dx die Ableitung nach x und das Plancksche Wirkungsquantum. Man versucht nun, den Inhalt der eckigen Klammer als Produkt zu schreiben, also
Durch Vergleich von u und v mit den Termen in der eckigen Klammern ergibt sich und
Hierbei ist der Erzeugungs- und a der Vernichtungsoperator. Häufig werden sie auch als a+ und a- geschrieben. EigenschaftenDas Produkt dieser Operatoren ergibt nicht wieder die obige Klammer, sondern
Die Größe N heißt auch Teilchenzahloperator. Schreibt man den zusätzlichen Term auf die andere Seite, so kann man die Schrödingergleichung auch schreiben als
Umgekehrt ist
womit die Schrödingergleichung zu wird. Zudem gelten damit die Beziehungen Eine besonders wichtige Eigenschaft der Operatoren ist diese: Ist ψ eine Lösung der Schrödingergleichung für die Energie E, so ist eine Lösung für die Energie und aψ eine Lösung für die Energie . Das bedeutet, dass man aus einer Lösung alle Lösungen erhalten kann, indem man einfach die entsprechenden Operatoren auf diese Lösung anwendet. Dadurch wird eine neue Lösung für das benachbarte Energieniveau erzeugt. Da man zeigen kann, dass negative Energien nicht existieren, gibt es eine Lösung ψ0, die auf einem minimalen Energieniveau sitzt. Diese Lösung muss die Eigenschaft
besitzen. Damit kann die minimale Energie sofort bestimmt werden zu
Da jede Lösung um eine Energie verschoben ist, ergeben sich die Energienivaus zu HerleitungN ist ein hermitescher Operator und hat daher reelle Eigenwerte, die wir n nennen.
aus der Kommutatorrelation folgt und damit kann man nun zeigen daraus folgt, dass Eigenvektor von N ist,wobei
somit ist
und somit: analog für :
somit ist
und somit: LiteraturModern Quantum Mechanics von J.J.Sakurai |
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Dieser Artikel basiert auf dem Artikel Erzeugungs-_und_Vernichtungsoperator aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation. In der Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar. |