Erzeugungs- und Vernichtungsoperator

Die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren, auch Hebe- und Senkoperatoren, sind der Kern einer eleganten Lösung der Schrödingergleichung des harmonischen Oszillators. Diese Operatoren können auch dazu benutzt werden, gewisse Probleme mit dem quantenmechanischen Drehimpuls einfacher zu lösen. Ferner finden die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren Verwendung bei der Quantisierung von Feldern (der sogenannten zweiten Quantisierung).

Statt der Bezeichnung „Erzeugungsoperator“ wird manchmal auch Erschaffungsoperator verwendet. Es sei darauf hingewiesen, dass im deutschsprachigen Raum die Operatoren $σ +$ und $σ -$ , die die Zustände eines Atoms ändern, ebenfalls als Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren bezeichnet werden.

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Definition

Die zeitunabhängige Schrödingergleichung des harmonischen Oszillators in Ortsdarstellung lautet

$\left(-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm d^2}{\mathrm d x^2} + \frac{1}{2}m \omega^2 x^2\right) \psi(x) = E \psi(x)$ ,

was durch einfache Umformung zu

$\frac{1}{2m}\left[\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\mathrm d}{\mathrm d x}\right)^2 + (m \omega x)^2\right] \psi(x) = E \psi(x)$

wird. Hiebei ist $ψ$ die Wellenfunktion, E die Energie, d/dx die Ableitung nach x und $\hbar$ das Plancksche Wirkungsquantum.

Man versucht nun, den Inhalt der eckigen Klammer als Produkt zu schreiben, also

u 2 + v 2 = (u + i v)(u - i v)

Durch Vergleich von u und v mit den Termen in der eckigen Klammern ergibt sich

$a^{\dagger} = (u+iv) = \frac{1}{\sqrt{2m}}\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\mathrm d}{\mathrm d x} + i m \omega x\right)$

und

$a=(u-iv) = \frac{1}{\sqrt{2m}}\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\mathrm d}{\mathrm d x} - i m \omega x\right)$ .

Hierbei ist $a^{\dagger}$ der Erzeugungs- und $a$ der Vernichtungsoperator. Häufig werden sie auch als a₊ und a_- geschrieben.

Eigenschaften

Das Produkt dieser Operatoren ergibt nicht wieder die obige Klammer, sondern

$N=a^{\dagger}a = \frac{1}{2m}\left[\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\mathrm d}{\mathrm d x}\right)^2 + (m \omega x)^2\right] - \frac{1}{2}\hbar \omega$ .

Die Größe N heißt auch Teilchenzahloperator. Schreibt man den zusätzlichen Term auf die andere Seite, so kann man die Schrödingergleichung auch schreiben als

$\left(a^{\dagger}a + \frac{1}{2}\hbar \omega\right)\psi(x) = E \psi(x)$ .

Umgekehrt ist

$aa^{\dagger} = \frac{1}{2m}\left[\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\mathrm d}{\mathrm d x}\right)^2 + (m \omega x)^2\right] + \frac{1}{2}\hbar \omega$ ,

womit die Schrödingergleichung zu

$\left(aa^{\dagger} - \frac{1}{2}\hbar \omega\right)\psi(x) = E \psi(x)$

wird. Zudem gelten damit die Beziehungen

$aa^{\dagger} - a^{\dagger}a = \hbar \omega$

$E = a^{\dagger}a +\frac{1}{2}\hbar\omega$

$E = aa^{\dagger} -\frac{1}{2}\hbar\omega$

Eine besonders wichtige Eigenschaft der Operatoren ist diese: Ist $ψ$ eine Lösung der Schrödingergleichung für die Energie E, so ist $a^{\dagger}\psi$ eine Lösung für die Energie $E+\hbar \omega$ und $a ψ$ eine Lösung für die Energie $E-\hbar \omega$ . Das bedeutet, dass man aus einer Lösung alle Lösungen erhalten kann, indem man einfach die entsprechenden Operatoren auf diese Lösung anwendet. Dadurch wird eine neue Lösung für das benachbarte Energieniveau erzeugt. Da man zeigen kann, dass negative Energien nicht existieren, gibt es eine Lösung $ψ 0$ , die auf einem minimalen Energieniveau sitzt. Diese Lösung muss die Eigenschaft