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FQFT

Die finite Quantenfeldtheorie (FQFT) ist ein Versuch, mit den klassischen Schwierigkeiten der Quantenfeldtheorie (QFT) fertig zu werden.

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Eine dieser klassischen Schwierigkeiten ist die UV-Katastrophe, die in der klassischen Theorie durch eine Renormierung behandelt wird. Probleme dabei sind konzeptioneller und mathematischer Art: Zum einen erhält man so eine Theorie, in der viele Elemente ad hoc oder aus experimentellen Erfahrungen eingesetzt werden müssen, zum anderen gehen viele der Theorie intrinsische Symmetrien verloren, die nach der Renormierung "von Hand" wieder rekonstruiert werden müssen. Die Schwierigkeiten sind vorwiegend auf mathematische Tatsachen zurückzuführen. Dazu gehören zum Beispiel dass im allgemeinen Distributionen im Gegensatz zu Funktionen keine Algebra bilden (zum Beispiel sollte eine delta-Distribution nicht potenziert werden).

Die FQFT umgeht dieses Problem durch die so genannte Kausale Störungstheorie, die von Ernst Carl Gerlach Stueckelberg, Nikolai Nikolajewitsch Bogoljubow, Henri Epstein und Vladimir Glaser entwickelt wurde. Dabei wird die S-Matrix Ordnung für Ordnung konstruiert:

$S(h) = 1 + \sum _{n=1} ^\infty \frac{1}{n!} \int d^4x_1 \ldots d^4 x_n T_n(x_1, \ldots, x_n) h(x_1) \cdot \ldots \cdot h(x_n)$

wobei die $h (x)$ temperierte Distributionen sind, und die $T_n(x_1, \ldots, x_n)$ sind operatorwertige Distributionen. Die erste Ordnung $T_1(x_1, \ldots, x_n)$ spezifiziert dabei das Modell. Alle höheren Ordnungen werden nun induktiv konstruiert, wobei die Kausalität eine wesentliche Rolle spielt. Bei der induktiven Konstruktion werden alle einträge der Streumatrix bis auf die Diagonalelemente eindeutig bestimmt. Die Methode von H. Epstein und V. Glaser besteht nun darin, die Distribution kausal korrekt aufzusplitten (was im Impulsraum durch ein Dispersions-Integral gemacht werden kann). Wird dies richtig gemacht, so treten keine UV-Divergenzen auf. Eine solche Konstruktion ist im allgemeinen jedoch nicht eindeutig: Eine lokale Distribution, deren Träger auf der Diagonalen liegt, kann addiert werden. Die Form dieser Distribution ist eingeschränkt durch ihre Normalisierbarkeit und allgemeinen Symmetriebedingungen (zum Beispiel die Poincaré-Symmetrie). Die FQFT ist somit eine Eichtheorie.

Während den Berechnungen werden nun die $h (x)$ allgemein belassen, und am Schluss wird der adiabatische Limes $h(x) \rightarrow 1$ gezogen, wodurch aber die Infrarot-Divergenzen wieder auftauchen. Der Vorteil dabei ist, dass man keine Probleme mit unendlichen (und somit nicht gut definierten) Größen während den Berechnungen hat, sondern dass diese erst am Ende einer Berechnung wieder auftauchen.

Entwicklungsmöglichkeiten

Die FQFT ist eine sehr allgemeine Theorie, die nun in verschiedene Richtungen weiterentwickelt werden kann. Erwähnenswert ist der Ansatz, in der nicht von klassischen Feldern und den entsprechenden Lagrange-Funktionen ausgegangen wird, sondern allgemeine Skalar-, Vektor- und Tensor-Felder quantisiert werden. Zusammen mit geeigneten geometrischen Eichbedingungen lässt sich zum Beispiel die Elektroschwache Theorie konstruieren. Dabei folgen der chirale Charakter der Fermionen und die Existenz des Higgs-Bosons automatisch aus der Theorie, und müssen nicht "von Hand" in einen Lagrange eingeführt werden.

Weiter lässt sich die FQFT auf krummlinige Koordinaten verallgemeinern, was eventuell den Anschluss an die Quantengravitation ermöglichen wird.

Beurteilung

Der wesentliche Vorteil der FQFT besteht darin, dass die Theorie vom mathematischen Standpunkt korrekt ist, und somit sehr allgemein. Ein interessantes Anwendungsgebiet dieser Theorie könnte in der Beurteilung von höherdimensionalen Theorien wie der Stringtheorie liegen, da diese in einer geeigneten Reduktion der Dimensionen auf eine (mathematisch korrekte) QFT zurückführen sollten.

Die Methoden, die dabei verwendet werden, sind der Fachwelt bis dato weniger geläufig. In der Fachwelt werden viele Berechnungen mit Hilfe von Pfadintegralen (Feynman-Diagramme) gemacht, die in der FQFT keine Anwendung finden.

Literatur

H. Epstein, V. Glaser, Ann. Inst. Poincaré, A 29 (1973) 211
Günter Scharf, Finite Quantum Electrodynamics: The Causal Approach, Springer Texts and Monographs in Physics, ISBN 3-540-60142-2
Günter Scharf, Quantum Gauge Theories: A True Ghost Story, Wiley-Interscience, ISBN 0471414808
Günter Scharf, Michael Dütsch, Perturbative Gauge Invariance: The Elektroweak Theory, Ann. Phys 8 (1999) 5, 359-387

Kategorie: Quantenphysik

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