Fermi-Dirac-Statistik

Die Fermi-Dirac-Statistik ist wie die Bose-Einstein-Statistik eine wichtige Form der allgemeinen Quantenstatistik. Letztere nimmt diese Form an für Teilchen mit halbzahligem Spin (Fermionen), während sich bei ganzzahligem Spin die sog. Bose-Einstein-Statistik ergibt. (Man unterscheidet Fermionen bzw. Bosonen, je nachdem ob der Spin des Teilchens - in Einheiten von $\hbar =h/(2\pi)$ , mit dem Wirkungsquantum h - einen der halbzahligen Werte 1/2, 3/2, 5/2, ... bzw. einen der ganzzahligen Wert, 0, 1, 2, ..., annimmt. Andere Fälle gibt es nicht.)

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Kernpunkt der Fermi-Dirac-Statistik ist, dass bei halbzahligem Spin die Wellenfunktion (oder der "Zustandsvektor") eines Vielteilchensystems bezüglich gleichzeitiger Vertauschung aller vier(!) Argumente x,y,z, m bei zwei Teilchen (wobei x, y, und z drei Ortvariable und m die sog. Spinvariable des Teilchens ist) das Vorzeichen wechselt (Wf -> - Wf), während sich bei Bosonen dieselbe Wellenfunktion ergeben würde (Wf -> Wf). Im wichtigen Spezialfall der Wechselwirkungsfreiheit ergibt sich für Fermionen die Fermiverteilung; bei Bose-Teilchen kommt es dagegen u.U. zur Komplikation der Bose-Einstein-Kondensation, für die es bei Fermionen kein Analogon gibt.

Die Fermi-Dirac-Statistik hängt mit dem sog. Pauli-Prinzip zusammen, das anschaulich besagt, dass zwei in allen vier Argumenten (s.o.) identische Fermionen niemals zum gleichen Gesamtzustand eines Systems beitragen können, da in diesem Fall Vertauschung zweier Teilchen (gleichzeitige Vertauschung aller vier Argumente!) offenbar keine Auswirkungen hätte. Etwas weniger anschaulich folgt dies genau aus der obigen Forderung nach Vorzeichenwechsel der Wellenfunktion, welche sich wiederum aus dem ungewöhnlichen Drehverhalten der Wellenfunktion einzelner Fermionen ergibt (bei einer Drehung um 360^o ändert diese im Fermi-Fall ihr Vorzeichen, entsprechend einer gewöhnlichen Drehung um nur 180^o, im Bose-Fall reproduziert sie sich).

Die Tatsache, dass Teilchen mit halbzahligem Spin der Fermi-Dirac-Statistik folgen, bezeichnet man auch als Spin-Statistik-Theorem. Es folgt aus den Grundannahmen der relativistischen Quantenfeldtheorie und wurde ebenfalls von Wolfgang Pauli bewiesen.

Für den Grenzfall sehr großer Energien gehen sowohl die Fermi-Dirac-Statistik als auch die Bose-Statistik in die klassische Boltzmann-Statistik über.

Literatur

Alle Lehrbücher der Quantenmechanik bzw. der Statistischen Physik
U. Krey, A. Owen, Basic Theoretical Physics - a Concise Overview, Berlin Heidelberg New York, Springer 2007, (in Englisch) , ISBN 978-3-540-36804-5

Siehe auch:

Kategorie: Quantenphysik

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