Fermiverteilung

Die Fermi-Verteilung folgt aus der Fermi-Dirac-Statistik im wichtigen Spezialfall der Wechselwirkungsfreiheit. Sie gibt unter dieser Zusatzvoraussetzung an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Fermion eine Energie E zu gegebener Temperatur T hat. Die Verteilung ist nach dem italienischen Physiker Enrico Fermi benannt.

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In einem System der Temperatur T lautet die Fermi-Verteilung wie folgt:

Dabei ist das sog. chemische Potenzial μ im Wesentlichen durch die Teilchenzahl im System festgelegt (am Nullpunkt der absoluten Temperatur geht es in die Fermi-Energie E_f über).

Um die Besetzungswahrscheinlichkeit eines Energieniveaus – z. B. für Elektronen in einem Metall – zu berechnen, muss die Fermi-Verteilung mit der Zustandsdichte D(E) multipliziert werden.

Das schon erwähnte Fermi-Niveau E_f ist das Energieniveau bei 0 Kelvin, bis zu dem Fermionen (z. B. Elektronen) im Bändermodell besetzt sind. Die Fermi-Energie gehört dann zum Elektron mit der höchsten Energie. Eine Verschiebung von E_f kann durch Donator- und Akzeptordotierung erreicht werden. Nicht nur die Störstellenkonzentration, sondern auch die Temperatur verschiebt das Niveau. Dann spricht man meist nicht mehr von Fermi-Niveau (bei 0 Kelvin), sondern nur noch von Fermi-Energie ( >0 Kelvin)

Fermi-Verteilung am absoluten Temperaturnullpunkt

Das Pauli-Prinzip besagt, dass Fermionen nicht in allen Quantenzahlen übereinstimmen dürfen. Dies hat zur Folge, dass auch am absoluten Temperaturnullpunkt Fermionen in angeregten Energiezuständen sitzen müssen. Anschaulich lässt sich das mit Vorstellung eines Fermi-Sees verstehen: Jedes hinzugefügte Fermion besetzt den tiefstmöglichen Energiezustand, welcher noch nicht von einem anderen Fermion besetzt ist. Die Fermi-Verteilung hat bei also eine scharfe Kante bei einer Energie, deren Höhe von der Anzahl der Fermionen in dem betrachteten System abhängt und als Fermi-Kante oder Fermi-Energie E_f bezeichnet wird. Ganz wichtig ist hierbei, dass die Fermi-Verteilung nur eine Wahrscheinlichkeit angibt, mit der ein Zustand besetzt wird. Ob der Zustand auch besetzt wird, hängt davon ab, ob ein entsprechender Zustand existiert. Bei einem Halbleiter existiert zur Fermi-Energie kein erlaubter Zustand, er kann nicht besetzt werden (verbotene Zone).

Für die Temperatur Null Kelvin (T = 0 K) gilt (siehe Abbildung rechts):

• Alle Zustände unter der Fermi-Energie E_f sind mit Fermionen besetzt, da für E < E_f gilt: W(E) = 1, d. h. Wahrscheinlichkeit, ein Fermion anzutreffen ist Eins.
• Zustände oberhalb der Fermi-Energie sind nicht von Fermionen besetzt, da für E > E_f gilt: W(E) = 0, die Wahrscheinlichkeit ein Fermion anzutreffen also Null ist.
• Das elektrochemische Potenzial des Systems entspricht der Fermi-Energie.

Die Temperatur, bei der die thermische Energie k_BT der Fermi-Energie entspräche, wird als Fermi-Temperatur T_F bezeichnet. Diese Begriffsbildung dient nur dem Charakterisieren einer Temperaturskala (s. u.) und hat nichts mit der realen Temperatur der Fermionen zu tun.

Fermi-Verteilung bei endlichen und sehr hohen Temperaturen

Bei endlichen Temperaturen (T > 0 K; siehe Abbildung links), die aber klein sein sollen gegenüber der sog. Fermi-Temperatur T_f (es soll also gelten , mit der Boltzmann-Konstante k_B) werden auch Zustände oberhalb der Fermi-Energie E_f mit Fermionen besetzt, dafür bleiben gleich viele Zustände unterhalb der Fermi-Energie leer. Die Fermi-Verteilung lässt sich dabei im Bereich sehr hoher Energien, , ebenso wie die Bose-Einstein-Verteilung für Bosonen, durch die Boltzmann-Verteilung

nähern.

Ist die Temperatur sehr viel größer als die Fermi-Temperatur T_f: = E_f / k_B, so sind nunmehr alle Fermionen angeregt und die Boltzmann-Näherung gilt für den gesamten Energiebereich. In Metallen liegt die Fermi-Energie jedoch in der Größenordnung einiger Elektronenvolt entsprechend einer Fermi-Temperatur von einigen 10.000 K. Dies hat zur Folge, dass auch bei Zimmertemperatur der Einfluss der Temperatur vernachlässigbar ist bzw. nur störungstheoretisch berücksichtigt werden muss. In diesem Fall spricht man von einem entarteten Elektronengas.

Bedeutung

In Festkörpern kann die Fermi-Verteilung mit Experimenten, die die elektronische Besetzungsdichte messen, sehr gut beobachtet und ausgewertet werden. Mit solchen Studien lässt sich das Auflösungsvermögen einer Messapparatur bestimmen, indem man den Verlauf der Fermi-Verteilung bei einer bestimmten Temperatur misst und mit der Theorie vergleicht.

Genauso verringert die Fermi-Verteilung das Auflösungsvermögen bei endlichen Temperaturen. Unter der Annahme, dass sich die Fermi-Verteilung bei einer bestimmten Temperatur näherungsweise als Faltung einer Stufenfunktion und einer Gauß-Verteilung einer bestimmten Breite beschreiben lässt, entsprechen 1 K etwa 0,34 meV. Das Auflösungsvermögen einer Apparatur, die Effekte misst, bei denen die Verteilung der Elektronen in unmittelbarer Umgebung der Fermi-Energie eine Rolle spielt, ist bei Raumtemperatur somit auf 100 meV begrenzt.