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Dichte

Physikalische Größe
Name		Dichte
Formelzeichen der Größe		$ρ$
Größen- und Einheitensystem	Einheit		Dimension
SI	kg·m⁻³		M·L⁻³
Siehe auch: Wichte (spezifisches Gewicht), relative Dichte (spezifische Dichte), spezifisches Volumen

Die Dichte, präzise Massendichte, $\rho(\mathbf r)$ ist eine physikalische Größe, die eine Massenverteilung beschreibt.

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Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Massendichte und Energiedichte
- 2.1 Klassische Gravitation
- 2.2 Allgemeine Relativitätstheorie
3 Dichtebestimmung
4 Abgrenzung zu anderen Begriffen
- 4.1 Spezielle Dichten in der Anwendung
5 Literatur

Definition

Die Massendichte gehört zu den einen Werkstoff kennzeichnenden Eigenschaften. Sie ist eine Funktion des Ortes und beschreibt die Masse dm pro Volumeneinheit dV. Dabei spielt nicht nur die Masse eines Teilchens des Materials die ausschlaggebende Rolle, vielmehr wird die Dichte von dem Abstand der einzelnen Teilchen zueinander bestimmt (Bsp.: Blei). Ihre Einheit ist in SI-Einheiten durch kg/m³ gegeben.

In homogenem Material (wie festes Blei es ist) ist die Dichte (makroskopisch betrachtet) konstant, d. h. unabhängig von der Position. Im Allgemeinen jedoch hängt die Dichte vom Ort ab (Skalarfeld):

$\rho = \rho(\mathbf r)$ ,

wobei $\mathbf r$ der Ortsvektor in einem beliebigen Koordinatensystem ist. Gemäß der Definition gilt

$\rho(\mathbf r) = \frac{\mathrm d m}{\mathrm d V}$

$dm = \rho(\mathbf r) \mathrm d V$ ,

womit die durch die Massendichte beschriebene Gesamtmasse in einem Volumen V durch das Integral

$m = \int_V \rho(\mathbf r)\, \mathrm d v$

gegeben ist.

Die Dichte eines Stoffes ist der Quotient aus Masse und Volumen. Die Dichte hängt von der Temperatur und bei Gasen vom Druck ab .

Für eine konstante Dichte $ρ 0$ gilt demnach

$m = \int_V \rho_0 \, \mathrm d V = \rho_0 V$ ,

sodass die Dichte gerade die Gesamtmasse pro Gesamtvolumen ist.

Der Kehrwert der Dichte wird spezifisches Volumen genannt und spielt vor allem in der Thermodynamik der Gase und Dämpfe eine Rolle. Das Verhältnis der Dichte eines Stoffes zur Dichte im Normzustand wird als Relative Dichte bezeichnet.

Massendichte und Energiedichte

Über die Äquivalenz von Masse und Energie kann der Begriff der Massendichte auf die Energiedichte $\omega(\mathbf r)$ erweitert werden. Für diese gilt

$\omega(\mathbf r)=\rho(\mathbf r) \cdot c^2$ ,

wobei c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist. Die Einheit der Energiedichte ist entsprechend J/m³.

Klassische Gravitation

Im Rahmen der klassischen Gravitationstheorie ergibt sich, dass die Massendichte die Quelle des Gravitationsfeldes darstellt, wobei die Masse selbst unbedeutend ist. Die Poisson-Gleichung des Gravitationspotentials lautet

$\Delta \Phi(\mathbf r) = 4\pi G \rho(\mathbf r)$ ,

wobei

Δ

der Laplace-Operator, $\Phi(\mathbf r)$ das Potential des Gravitationsfeldes und G die Gravitationskonstante ist.

Allgemeine Relativitätstheorie

In der allgemeinen Relativitätstheorie wird das Gravitationsfeld durch den Energie-Impuls-Tensor erzeugt. Dieser enthält mehrere Formen der Energiedichte und Energie-Strom-Dichte. In einer Näherung an die klassische Gravitationstheorie ergibt sich hier, dass die Krümmung der Raumzeit allein von der Massendichte abhängt. Diese Näherung ist jedoch nur in schwachen Gravitationsfeldern korrekt.

Dichtebestimmung

Dichtebestimmung durch Auftrieb

Nach dem Prinzip von Archimedes erfährt ein vollständig in einer Flüssigkeit oder Gas eingetauchter Körper eine Auftriebskraft, die der Gewichtskraft des Volumens der verdrängten Flüssigkeit entspricht. Um die zwei Unbekannten Dichte und Volumen zu bestimmen, sind zwei Messungen erforderlich.

Taucht man einen beliebigen Körper mit dem Volumen V_K vollständig in zwei Flüssigkeiten oder Gase mit den bekannten Dichten ρ₁ und ρ₂ ein, so erfährt er die unterschiedlichen, resultierenden Gewichtskräfte F_G1 bzw F_G2. Messbar sind die resultierenden Kräfte mittels einer einfachen Waage. Die gesuchte Dichte ρ_K lässt sich wie folgt bestimmen.

Ausgehend von der Formel für die Gewichtskraft des Körpers und den Auftriebskräften F_Ai:

$F_{G}=V_K \cdot \rho_K \cdot g$ ,

$F_{Ai}=V_K \cdot \rho_i \cdot g$

und

$\ F_{res,i}=F_{Gi}=F_G-|F_{Ai}|$

erhält man nach dem Gleichsetzen und zwei einfachen mathematischen Umformungen die Lösung:

$\ \rho_K = \frac{F_{G1} \cdot \rho_2 - F_{G2} \cdot \rho_1}{F_{G1}-F_{G2}}$

Für den Fall, dass $\ \rho_1 \ll \rho_2$ ist, vereinfacht sich die Formel zu:

$\ \rho_K = \frac{F_{G1} }{F_{G1}-F_{G2}}\cdot \rho_2$

Für den Fall, dass nur eine Flüssigkeit (z.B. Wasser mit Dichte $ρ W$ zur Verfügung steht, kann die obige Methode folgendermassen adaptiert werden:

Gewicht des Körpers vor Eintauchen:

$F_{G}=V_K \cdot \rho_K \cdot g$ ,

Gewicht (reduziert) des Körpers nach (vollständigem) Eintauchen, wobei das Volumen $V K$ verdrängt wird (dies wird gemessen, entweder durch Überlauf aus dem vollen!! Gefäss oder im Messzylinder):

$F_{Gr}=V_K \cdot \rho_K \cdot g - F_{A} = V_K \cdot g (\rho_K -\rho_w)$ ,

d.h. nach Umformen

$\rho_K = \rho_w + \frac {F_{Gr}} {V_k \cdot g}$

Nach dieser Methode bestimmte schon Archimedes die effektive Dichte der Krone eines Königs, der zweifelte, ob diese wirklich aus reinem Gold bestehe ( $ρ G$ = 19300 kg/m³.)

Weitere Messmethoden

Aräometer, Dichtebestimmung von Flüssigkeiten über Auftriebmessung.
Pyknometer, Dichtebestimmung von Festkörpern durch Messen der verdrängten Flüssigkeitsvolumen.
Isotopenmethode, Dichtebestimmung durch Strahlungsabsorption.
Biegeschwinger, Dichtebestimmung durch Schwingungsmessung.

Tabellenwerte

Tabellenwerte zur Dichte verschiedener Stoffe sind in folgenden Artikeln zu finden:

Abgrenzung zu anderen Begriffen

Die Dichte darf nicht mit dem spezifischen Gewicht (Wichte) verwechselt werden, denn diese ist zwar sehr ähnlich zur Dichte definiert, unterscheidet sich aber in einem Punkt: Während bei der Dichte die Masse im Verhältnis zum Volumen steht, geschieht dieses beim spezifischen Gewicht mit dem Volumen und der Gewichtskraft.
Die relative Dichte ist das Verhältnis der Dichte zur Dichte eines Normals und eine dimensionslose Größe

Definiert werden diese Unterschiede in der DIN 1306 Dichte; Begriffe, Angaben

Spezielle Dichten in der Anwendung

Spezielle Messgrößen der Dichte sind:

Reindichte ρ₀, absolute Dichte, wahre Dichte, Skelettdichte (Volumen ohne Hohlräume)
Rohdichte ρ, geometrische Dichte, scheinbare Dichte (eines porösen Körpers, Hohlräume inklusive)
- Darrdichte, Raumdichte von Holz, Trockendichte der Gesteine (Materialkunde),
Schüttdichte ρ_Sch eines Gemenges mit einem Fluid inklusive Luft
- Korndichte, Hektolitergewicht (Logistik)
Potentielle Dichte σ_θ (Ozeanographie)
Dichten kompressibler Materialien: Pressdichte, Klopfdichte, Fülldichte, Stopfdichte, Raumdichte von Asphalt
Sinterdichte von Sinterwerkstoffen

siehe auch: Gesteinsdichte, zu den spezifischen Verhälnissen der Petrologie und Mineralogie

Als dimensionslose Vergleichsgröße:

Relative Dichte d, spezifische Dichte
Lagerungsdichte bindiger und nicht bindiger Böden (Bodenmechanik)

In Analogie werden andere Größen pro Raumeinheit als Dichten bezeichnet, zum Beispiel die Teilchendichte, die Ladungsdichte oder die Wahrscheinlichkeitsdichte. Teilweise wird der Begriff Dichte auch für Größen pro Flächeneinheit verwendet (z. B. Stromdichte, Strahlungsstromdichte, elektrische und Magnetische Flussdichte), oder je Länge (etwa Linienladungsdichte). Für zweitere ist nach DIN 5485 -flächendichte oder -bedeckung empfohlen und für letztere -längendichte, -belag oder -behang.

Siehe ausführlich: Bezogene Größe

Literatur

DIN 1306 Dichte; Begriffe, Angaben

Kategorie: Stoffeigenschaft

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