Größensystem

Ein Größensystem dient zur systematischen Einordnung von physikalischen Größen. Es wird nach praktischen Gesichtspunkten durch die Festlegung einer oder mehrerer Basisgrößen definiert. Eine Basisgröße kann definitionsgemäß nicht durch andere Basisgrößen ausgedrückt werden. Nach vereinbarten Rechenvorschriften lassen sich jedoch aus den Basisgrößen beliebig viele abgeleitete Größen des Größensystems erschaffen.

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Eine Größe wird durch geeignete Zuweisung einer Größenart in das Größensystem eingefügt. Es kann aber auch Größen geben, die nicht in ein Größensystem eingeordnet werden, weil z.B. keine sinnvolle Möglichkeit existiert.

Die Systematik eines Größensystems orientiert sich an den Größenarten und Dimensionen der Größen. Mehrere unterschiedliche Größen können derselben Größenart angehören. Beispielsweise werden die Größen Durchmesser und Wellenlänge im Allgemeinen als Größen der Größenart Länge angesehen. Innerhalb eines Größensystems haben Größen derselben Größenart immer dieselbe Dimension, umgekehrt müssen Größen derselben Dimension jedoch nicht derselben Größenart angehören.

Zusammenhänge zwischen einem Größensystem und einem Einheitensystem müssen per Definition festgelegt werden. Aus einem Größensystem folgt nicht automatisch ein Einheitensystem, denn einem Größensystem können mehrere verschiedene Einheitensysteme zugeordnet werden.

Beispiele

(Größenarten fett, Größen kursiv)

Definitionen:

1. Ein Größensystem werde mit den beiden Basisgrößen Länge L und Masse M definiert.
2. Weitere Größenarten des Systems sollen abgeleitet werden, indem sämtliche Basisgrößen mit eigenen Exponenten versehen und dann miteinander multipliziert werden.

Eigenschaften:

• Praktischer Gesichtspunkt: Die Wahl der Basisgrößen macht physikalisch Sinn und ermöglicht einfaches Rechnen.
• Eine Größenart G des Größensystems kann als G = L^x * M^y dargestellt werden.
• Trivial: Aus den Basisgrößen leitet sich die Länge als L^1 * M^0 = L und die Masse als L^0 * M^1 = M ab.

Einordnung von Größen:

• Die Größe Durchmesser eines Kreises ist zunächst innerhalb des Größensystems nicht definiert, d.h. sie ist keiner Größenart zugeordnet, d.h. sie ist nicht Teil des Größensystems, d.h. sie ist in diesem nicht darstellbar.
• Sowohl der Durchmesser als auch der Umfang eines Kreises können der Größenart L zugeordnet, d.h. als Längen definiert und so in das Größensystem aufgenommen werden.

Abgeleitete Größenarten:

• Die Größenart Volumen ist zunächst innerhalb des Größensystems nicht definiert, d.h. sie ist nicht Teil des Größensystems, d.h. sie ist in diesem nicht darstellbar.
• Das Volumen könnte als Größenart "Länge in drei unabhängigen räumlichen Dimensionen" durch L^3 * M^0 = L^3 definiert werden. Die Dichte könnte dann als "Masse durch Volumen" die Größenart L^-3 * M^1 = L^-3 M^1 sein.
• Die Geschwindigkeit könnte als Größenart "Länge des Bremsweges in Wasser" definiert werden, d.h. als L^1 * M^0 = L. Die Geschwindigkeit wäre dann also eine Länge. (Mit "Länge des Bremsweges in Wasser" ist gemeint "Die Länge des Weges, den ein nicht (mehr) beschleunigtes Objekt nach dem Eintauchen in Wasser bei bestimmten Bedingungen bis zu seinem Stillstand zurücklegt", d.h. das Objekt wird nach einer bestimmten Methode abgebremst, sodass der Bremsweg eine Funktion der Geschwindigkeit ist.)
• Die Geschwindigkeit könnte aber auch nach der Einführung einer dritten Basisgröße Zeit T abgeleitet werden. Die Größenart der Geschwindigkeit wäre dann beispielsweise L^1 * M^0 * T^-1 = L/T.
• Nach Einführung einer vierten Basisgröße Geschwindigkeit V würde man die Geschwindigkeit nicht mehr als abgeleitete Größenart L^1 * M^0 * T^-1 = L/T, sondern als L^0 * M^0 * T^0 * V^1 = V behandeln. Damit keine Doppeldeutigkeiten entstehen, muss für entsprechende Größen definiert werden, ob sie über L/T oder über V dargestellt werden sollen. Die Zuordnung kann z.B. von der Bedeutung der Größe abhängen. Rechnerisch ist es unkritisch, beide Darstellungsweisen zu vermischen, wenn der Zusammenhang V = L / T bekannt ist.