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Hamiltonoperator

Hamiltonoperator

Der Hamiltonoperator $\hat H$ ist ein zentrales mathematisches Objekt der Quantenmechanik. Er beschreibt die dynamischen Eigenschaften eines Systems und erscheint beispielsweise in der Schrödingergleichung. Man kann den Hamiltonoperator semi-heuristisch aus der Hamiltonfunktion der klassischen Mechanik ableiten, indem man die dynamischen Variablen durch die entsprechenden quantenmechanischen Operatoren ersetzt. Der Hamiltonoperator ist benannt nach William Rowan Hamilton.

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Eigenschaften

Der Zustand eines quantenmechanischen Systems kann durch einen Vektor $|\psi \rangle$ (Bra-Ket-Notation) im abstrakten Hilbertraum charakterisiert werden. Die Zeitentwicklung dieses Zustandsvektors wird durch die Schrödingergleichung beschrieben.

$\hat H \left|\psi (t)\right\rangle = i \hbar {\partial\over\partial t} \left| \psi (t) \right\rangle$ .

Der Hamiltonoperator ist ein hermitescher Operator, dessen zugeordnete Observable die Gesamtenergie des Systems ist. Er kann in vielen Fällen aus der entsprechenden Hamiltonfunktion der klassischen Physik erhalten werden. Dabei werden die dynamischen Variablen (meistens Impuls $p$ und Ort $x$ ) durch die entsprechenden quantenmechanischen Operatoren ersetzt. Für viele Systeme ergibt er sich als Summe aus kinetischer und potentieller Energie, wobei die Energien Funktionen der Orts- und Impulsoperatoren sind.

Die Ermittlung des Hamiltonoperators aus der Hamiltonfunktion ist allerdings nicht immer möglich und eindeutig. Komplikationen ergeben sich beispielsweise wenn Produkte von Variablen auftreten, deren zugeordnete Operatoren nicht kommutieren. Die heuristische Regel ist, in solchen Fällen den Mittelwert beider Reihenfolgen zu verwenden, aus dem Produkt $A\cdot B$ wird also der Operator $(\hat A\hat B+\hat B\hat A)/2$ . Außerdem gibt es in der Quantenmechanik Phänomene, wie den Spin, die kein klassisches Analogon haben.

Die Eigenvektoren $\left|\phi_E\right\rangle$ von $\hat H$ sind die stationären Zustände des Systems, die zugehörigen Eigenwerte $E$ die entsprechenden Energien. Die Eigenwertgleichung lautet $\hat H \left|\phi_E\right\rangle = E \left|\phi_E\right\rangle$ . Der Spektralsatz garantiert, dass die Energien reell sind und die linear unabhängigen Eigenvektoren eine Basis des Hilbertraums bilden. Je nach System kann das Energiespektrum diskret oder kontinuierlich sein. In der Tat weisen Systeme häufig neben einem diskreten Energiespektrum auch ein energetisch höherliegendes Kontinuum auf. Ein Beispiel dafür ist ein endlicher Potentialtopf, in dem gebundene Zustände mit diskreten negative Energien und freie Zustände mit kontinuierlich verteilten, positiven Energien auftreten.

Der Hamiltonoperator ist außerdem der Erzeuger für den unitären Zeitentwicklungsoperator. Dieser ergibt sich, falls der Hamiltonoperator zu verschiedenen Zeitpunkten mit sich selbst kommutiert, zu

$\hat U(t,t_0) = e^{-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^t\hat H(\tau)\mathrm d\tau}$ ,

dabei sind Funktionen eines Operators ebenfalls über den Spektralsatz definiert. Falls der Hamiltonoperator nicht explizit von der Zeit abhängt, reduziert sich die Formel zu

$\hat U(t,t_0) = e^{-\frac{i}{\hbar}(t - t_0)\hat H}$ .

Operatoren, die mit $\hat H$ vertauschen, sind Erhaltungsgrößen des Systems. Vertauscht der Hamiltonoperator mit sich selbst, ist die Energie eine Erhaltungsgröße. Die Eigenvektoren dieser Observablen sind gleichzeitig Eigenvektoren des Hamiltonoperators

Darstellungen

Im Ortsraum werden der Impulsoperator $\hat{\mathbf{p}}$ zu $-i\hbar\frac{\partial}{\partial \mathbf{x}}$ und der Ortsoperator $\hat{\mathbf{x}}$ zu $\mathbf{x}$ . Der Hamiltonoperator eines Punktteilchens der Masse $m$ im Potential $V(\mathbf{x})$ ist gegeben durch

$\hat{H}\left(\hat{\mathbf{p}},\hat{\mathbf{x}}\right)=\frac{\hat{\mathbf{p}}^2}{2m}+V(\hat{\mathbf{x}})$ .

Im Ortsraum hat er die Darstellung

$\hat{H}_x=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta+V(\mathbf{x})$ ,

wobei $\Delta=\left(\frac{\partial}{\partial\mathbf{x}}\right)^2$ der Laplace-Operator ist. Die Schrödingergleichung lautet somit

$i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf x,t) = -\frac{\hbar^2}{2 m}\Delta\Psi(\mathbf x,t) + V(\mathbf x,t)\Psi(\mathbf x)$

Analog kann man die Darstellung im Impulsraum gewinnen, die mit der Ortsdarstellung über eine Fouriertransformation verbunden ist.

Beispiele

Die Hamiltonfunktion des eindimensionalen harmonischen Oszillators ist

$H=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}\omega^2 m x^2$ ,

der entsprechende Hamiltonoperator lautet

$\hat H=\frac{\hat p^2}{2m}+\frac{1}{2}\omega^2 m \hat x^2$ .

In der Ortsdarstellung gilt also

$\hat H_x=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} +\frac{1}{2}\omega^2 m x^2$ .

Für ein dreidimensionales Spinsystem lautet der Hamiltonoperator:

$\hat H = -\mu_B \mathbf B \cdot \hat\mathbf S = -\mu_B \sum^{3}_{i=1}B_i \hat S_i$

wobei $μ B$ das Bohrsche Magneton und $\hat S_i$ den Spinoperator in Richtung i darstellt. $\mathbf B$ ist das externe Feld, in dem sich die Spins befinden.

Für ein geladenes Teilchen in einem äußeren elektromagnetischen Feld gilt:

$\hat H = \frac{1}{2m}\left(\hat\mathbf P - e \mathbf A(\hat\mathbf X)\right)^2 + e \varphi(\hat\mathbf X)$ .

$e$ bezeichnet die Elementarladung, $\varphi(\hat\mathbf X)$ das skalare Potential und $\mathbf A(\hat\mathbf X)$ das Vektorpotential. Beim Ausmultiplieren der Klammer ist zu beachten, dass die Operatoren $\hat{\mathbf{P}}$ und $\mathbf{A}(\hat{\mathbf{X}})$ nicht vertauschen.

Siehe auch

Bra-Ket-Notation
Hamilton-Funktion
Hilbertraum

Kategorien: Quantenphysik | Quantenchemie | Theoretische Chemie

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