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Hermann-Mauguin-Symbol

Hermann-Mauguin-Symbol

Die Hermann-Mauguin-Symbolik wird in der Kristallographie zur Beschreibung von Symmetrieelementen verwendet, die Atome oder Ionen in einer Kristallstruktur vervielfältigen beziehungsweise in einander überführen. Benannt ist sie nach den beiden Kristallographen Carl Hermann und Charles-Victor Mauguin. Sie wird in den International Tabels for Crystallography in ihrer vollständigen und Kurzschreibweise für die Beschreibung der 32 Punktgruppen (Kristallklassen) und 230 Raumgruppen verwendet und ist damit international als Standard anerkannt. Neben der Symbolik nach Hermann-Mauguin existiert auch eine Schreibweise nach Arthur Moritz Schönflies, die heute jedoch kaum mehr für den kristallinen Zustand, sondern für die Beschreibung der Symmetrie von Molekülen Anwendung findet.

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Symbole der Symmetrieelemente

Inversionszentrum

$\bar{1}$ : Inversionszentrum. Vervielfältigung eines Teilchens durch Punktspiegelung. Es entstehen insgesamt zwei symmetreiäquivalente Teilchen.

Drehachsen

$1\$ : einzählige Drehachse, das heißt Drehung um 360°. Da sich das Teilchen dabei in sich selbst abbildet wird die einzählige Drehachse auch als Identität bezeichnet
$2\$ : zweizählige Drehachse, das heißt Drehung um 180°. Es entstehen insgesamt zwei symmetrieäquivalente Teilchen.
$3\$ : dreizählige Drehachse, das heißt Drehung um 120°. Es entstehen insgesamt drei symmetrieäquivalente Teilchen.
$4\$ : vierzählige Drehachse, das heißt Drehung um 90°. Es entstehen insgesamt vier symmetrieäquivalente Teilchen.
$6\$ : sechszählige Drehachse, das heißt Drehung um 60°. Es entstehen insgesamt sechs symmetrieäquivalente Teilchen.

Spiegelebene

$m\$ : Spiegelebene. Vervielfältigung eines Teilchens durch Spiegelung an einer Ebene. Es entstehen insgesamt zwei symmetrieäquivalente Teilchen.

Gekoppelte Symmetrieoperationen (Drehinversionsachsen)

$\bar2$ : zweizählige Drehinversionsachse, das heißt Drehung um 180° und anschließende Punktspiegelung. Es entstehen insgesamt zwei symmetrieäquivalente Teilchen. Da diese Operation zum selben Ergebnis wie die Spiegelung an einer Ebene führt, wird diese Symbol nicht verwendet, sondern immer als Spiegelebene $m\$ angegeben.
$\bar3$ : dreizählige Drehinversionsachse, das heißt Drehung um 120° und anschließende Punktspiegelung. Es entstehen insgesamt sechs symmetrieäquivalente Teilchen.
$\bar4$ : vierzählige Drehinversionsachse, das heißt Drehung um 90° und anschließende Punktspiegelung. Es entstehen insgesamt vier symmetrieäquivalente Teilchen.
$\bar6$ : sechszählige Drehinversionsachse, das heißt Drehung um 60° und anschließende Punktspiegelung. Es entstehen insgesamt sechs symmetrieäquivalente Teilchen.

Kombinierte Symmetrieoperationen (Drehachsen senkrecht zu Spiegelebenen)

$2/m\$ : zweizählige Drehachse senkrecht zu einer Spiegelebene (gesprochen „zwei über m“). Es entstehen insgesamt vier symmetrieäquivalente Teilchen.
$3/m\$ : dreizählige Drehachse senkrecht zu einer Spiegelebene (gesprochen „drei über m“). Es entstehen insgesamt sechs symmetrieäquivalente Teilchen. Da diese Operation zum selben Ergebnis wie die sechszählige Drehinversionsachseachse führt, wird diese Symbol nicht verwendet, sondern immer als sechszählige Drehinversionsachseachse $\bar6$ angegeben.
$4/m\$ : vierzählige Drehachse senkrecht zu einer Spiegelebene (gesprochen „vier über m“). Es entstehen insgesamt acht symmetrieäquivalente Teilchen.
$6/m\$ : sechszählige Drehachse senkrecht zu einer Spiegelebene (gesprochen „sechs über m“). Es entstehen insgesamt zwölf symmetrieäquivalente Teilchen.

Symbole der Punktgruppen

Mit den oben beschriebenen Symbolen lassen sich die 32 Punktgruppen (Kristallklassen) beschreiben, da die Symmetrieoperationen der Kristallklasse keine Translation (siehe Abschnitt zu Raumgruppen) beinhaltet.

Im triklinen Kristallsystem gibt es die Punktgruppen $1\$ (Abwesenheit einer Inversion) und $\bar{1}$ (Anwesenheit einer Inversion). Für andere Kristallsysteme werden die Symmetrieoperationen bezüglich drei vorgegebener Richtungen angegeben:

	monoklin	orthorhombisch	tetragonal	trigonal	hexagonal	kubisch
1. Stelle	$[100]$	$[100]$	$[001]$	$[001]$	$[001]$	$[100]$
2. Stelle	$[010]$	$[010]$	$[100]$	$[100]$	$[100]$	$[111]$
3. Stelle	$[001]$	$[001]$	$[1\bar 10]$	$[1\bar 10]$	$[1\bar 10]$	$[1\bar 10]$

Es werden die Dreh- und Drehinversionsachsen parallel und die Spiegelebenen senkrecht zu diesen Zonen angegeben. Bei trigonalen Punktgruppen ist zu beachten, dass die Zonen bezüglich der hexagonalen Aufstellung des Koordinatensystems angegeben sind. Bei der gekürzten Schreibweise der Hermann-Maugin Symbole werden redundante Informationen weggelassen. Statt $4/m\ 2/m\ 2/m$ wird zum Beispiel $4/m\ m\ m$ geschrieben.

Symbole der Raumgruppen

Die Bezeichnung für die Raumgruppen funktioniert im Prinzip wie die der Punktgruppen. Zusätzlich wird die Zentrierung des Bravais-Gitters vorangestellt:

P: Primitiv
A, B oder C: Flächenzentriert
F: Allseitig Flächenzentriert
I: Innenzentriert
R: Trigonales Gitter mit rhomboedrischer Zentrierung

Es treten außerdem zusätzliche Symbole auf:

$n_m\$ : $n\$ -zählige Schraubung mit Translation um $\frac{m}{n}$ Teile eines Gittervektors.
$a\$ , $b\$ oder $c\$ : Gleitspiegelebene mit Translation entlang eines halben Gittervektors.
$n\$ : Gleitspiegelebene mit Translation entlang einer halben Flächendiagonale.
$d\$ : Gleitspiegelebene mit Translation entlang einer viertel Flächendiagonale.
$e\$ : Zwei Gleitspiegelungen mit gleicher Gleitspiegelebene und Translation entlang zweier (verschiedener) halber Gittervektoren.

Ein Beispiel für eine tetragonale Raumgruppe in gekürzter Schreibweise ist $I\ 4_1/a\ m\ d$ .

Kategorie: Kristallographie

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