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Würfel_(Geometrie)

Würfel (Geometrie)

Der Würfel (auch gleichseitiges Hexaeder [hɛksaˈeːdər], von griech. hexáedron, „Sechsflächner“, oder Kubus, von lat. cubus, „Würfel“) ist einer der fünf platonischen Körper, genauer ein (dreidimensionales) Polyeder (ein Vielflächner) mit

sechs (kongruenten) Quadraten als Begrenzungsflächen
zwölf (gleichlangen) Kanten und
acht Ecken, in denen jeweils drei Begrenzungsflächen zusammentreffen

Der Würfel ist ein spezielles (dreidimensionales) Parallelepiped (Parallelflach), ein spezieller (nämlich gleichseitiger) Quader sowie ein spezielles gerades quadratisches Prisma.

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Symmetrie

Wegen seiner hohen Symmetrie – alle Ecken, Kanten und Seiten sind untereinander gleichartig – ist der Würfel ein reguläres Polytop. Er hat

drei vierzählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten),
vier dreizählige Drehachsen (durch gegenüberliegende Ecken),
sechs zweizählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten) und
neun Spiegelebenen (sechs Ebenen durch jeweils vier Ecken, drei Ebenen durch je vier Kantenmittelpunkte)

und ist

punktsymmetrisch (zentralsymmetrisch).

Für eine vierzählige Drehachse gibt es 3 Symmetrieoperationen (Drehung um 90°, 180° und 270°), für eine dreizählige Drehachse dementsprechend 2 Symmetrieoperationen. Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Würfels 48 Elemente. Man bezeichnet sie in der Notation von Schönflies als $O h$ , in der Notation von Hermann / Mauguin als $4/m\ \bar{3}\ 2/m$ oder allgemein aber etwas ungenau als Oktaeder- bzw. Würfelgruppe.

Beziehungen zu anderen Polyedern

Der Würfel ist das zum Oktaeder duale Polyeder (und umgekehrt). Außerdem beschreiben die Eckpunkte des Würfels zwei punktsymmetrische reguläre Tetraeder, welche zusammen das Sterntetraeder als weiteren regulären Körper bilden.

Mithilfe von Würfel und Oktaeder können zahlreiche Körper konstruiert werden, die ebenfalls die Würfelgruppe als Symmetriegruppe haben. So erhält man zum Beispiel

den abgestumpften Würfel mit 6 Achtecken und 8 Dreiecken
das Kuboktaeder mit 6 Quadraten und 8 Dreiecken, also 14 Seiten, und 12 Ecken
das abgestumpfte Oktaeder mit 6 Quadraten und 8 Sechsecken

als Durchschnitte eines Würfels mit einem Oktaeder (siehe archimedische Körper) und

das Rhombendodekaeder mit 6+8 = 14 Ecken und 12 Rhomben als Seiten

als konvexe Hülle einer Vereinigung eines Würfels mit einem Oktaeder.

Der Würfel ist Baustein der regulären Würfelparkettierung.

Formeln

Größen eines Würfels mit Kantenlänge a
Volumen	$V \, = \, a^3$
Oberflächeninhalt	$A_O \, = \, 6 \, a^2 = V\,'\,(\frac{a}{2})$
Umkugelradius	$r_u \, = \, \frac{\sqrt{3}}{2} \, a \approx 0{,}87 \, a$
Inkugelradius	$r_i \, = \, \frac{1}{2} \, a$
Länge einer Raumdiagonale	$d \, = \, \sqrt{3} \, a \approx 1{,}73 \, a$
Verhältnis von Volumen zu Umkugelvolumen	$\frac{V}{V_{UK}} = \, \frac{2}{3\pi} \sqrt{3} \, \approx 0{,}37$

Hexaeder in der Chemie

Eine organische Verbindung, die wie ein Würfel aufgebaut ist, ist das nach dem englischen Cube (engl. für Würfel) benannte Cuban.

Verallgemeinerung

Auch die Analoga des Würfels in beliebiger Dimension n werden als (n-dimensionale) Würfel (oder Hyperwürfel) bezeichnet und sind ebenfalls reguläre Polytope. Der n-dimensionale Würfel hat $2^{n-k} {n \choose k}$ begrenzende Seiten der Dimension k. Spezialfälle:

Der nulldimensionale Würfel (Punkt) hat 1 Ecke.
Der eindimensionale Würfel (Strecke) hat 2 Ecken und 1 Kante.
Der zweidimensionale Würfel (Quadrat) hat 4 Ecken, 4 Kanten und 1 Fläche
Der vierdimensionale Hyperwürfel (Tesserakt) hat 16 Ecken, 32 Kanten, 24 Seitenquadrate und 8 Seitenwürfel.
Der n-dimensionale Würfel hat $2 n$ Ecken (k=0), $n$ $2 n - 1$ Kanten (k=1), $(n 2 - n)$ $2 n - 3$ Flächen (k=2), $n\left(\frac {n^2+2}{3}-n\right) * 2^{n-4}$ Volumen (k=3) und $2 n$ (n–1)-dimensionale Würfel als (k=n–1)-dimensionale Seiten (Facetten).

Ein Modell für den n-dimensionalen Würfels ist der Einheitswürfel Iⁿ im Vektorraum Rⁿ. Und zwar ist der abgeschlossene Einheitswürfel

$I^n = \left\{ (x_1,\dots,x_n) \mid 0 \le x_i \le 1 \right\}$
$I^n = [0,1] \times \cdots \times [0,1]$ , das n-fache kartesische Produkt des Einheitsintervalls
die konvexe Hülle der 2ⁿ Eckpunkte mit den Koordinaten 0 und 1
der Durchschnitt der 2n Halbräume $x_i \ge 0$ und $x_i \le 1$

Der Einheitswürfel ist ein achsenparalleler Würfel mit der Kantenlänge 1 und einer Ecke im Koordinatenursprung. Eine Verallgemeinerung dieses Konzepts sind Quader im Rⁿ, die in der mehrdimensionalen Analysis eine Rolle spielen.

Kategorie: Polyeder

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