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Impulsoperator

Der Impulsoperator ist das mathematische Objekt, das in der Quantenmechanik die Messung des (kanonischen) Impulses eines Teilchens beschreibt.

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Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Ortsdarstellung
3 Darstellung mit Erzeugungs- und Vernichtungsoperator
4 Eigenschaften
5 Warum ist der Impulsoperator ein Differentialoperator?
6 Siehe auch

Definition

Einem physikalischen System (Teilchen) wird je nach Präparation ein Zustandsvektor $Ψ$ zugewiesen. Solch ein Zustandsvektor ist Element eines Hilbertraumes H und die Observablen werden durch selbstadjungierte lineare Operatoren auf diesem Raum dargestellt. Speziell ist der Impulsoperator die Zusammenfassung der drei Observablen $\hat{\mathbf{p}}=(\hat{p}_1,\hat{p}_2,\hat{p}_3)$ , so dass der Wert

$\langle\hat{p}_i\rangle=\langle \Psi|\hat{p}_i|\Psi\rangle$

den Mittelwert (Erwartungswert) der Messergebnisse bei Messung der i-ten Impulskomponente des Teilchens im Raum beschreibt.

Ortsdarstellung

In der so genannten Ortsdarstellung ist der Hilbertraum H der Raum der quadratintegrablen Funktionen über dem Ortsraum. Ein Zustandsvektor $Ψ$ wird in diesem Fall durch die Wellenfunktion $\psi(\mathbf{x})$ beschrieben. Die Operatoren $\hat{\mathbf{p}}=(\hat{p}_1,\hat{p}_2,\hat{p}_3)$ , die die obige Gleichung erfüllen sind in diesem Fall durch Vielfache von partiellen Ableitungen nach den Koordinatenfunktionen, d.h. Differentialoperatoren gegeben. Die abstrakte Anwendung des Impulsoperators $\hat{p}_j \Psi$ wird konkret durch eine Konstante mal der Ableitung der Wellenfunktion nach der j-ten Koordinate $\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x_j} \psi(\mathbf{x})$ ausgedrückt. Als Vektoroperator geschrieben ist also:

$\hat{\mathbf{p}}=\frac{\hbar}{i}\vec\nabla =-i\hbar\vec\nabla$

Der Erwartungswert berechnet sich dann durch:

$\langle\hat{p}_j\rangle=\iiint \overline{\psi(\mathbf{x})}\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x_j} \psi(\mathbf{x})\, \mathrm d^3 x.$

Darstellung mit Erzeugungs- und Vernichtungsoperator

Der Impulsoperator des Harmonischen Oszillators kann auch durch Erzeugungs- und Vernichtungsoperator dargestellt werden:

$p=i\sqrt{\frac{m{\omega}{\hbar}}{2}}(-a+a^{\dagger})$

Eigenschaften

Wir beschränken uns hier auf den eindimensionalen Fall.

Der Impulsoperator ist ein selbstadjungierter Operator, dessen Spektrum (Bereich der möglichen Messwerte) die gesamte reelle Achse umfasst.
Das Spektrum ist also rein kontinuierlich und nicht entartet.
Hat das System keine anderen Freiheitsgrade (zusätzliche Dimensionen im Ortsraum oder innere Freiheitsgrade, d.h. Spin), so ist jeder andere Operator, der mit dem Impulsoperator vertauscht, eine Funktion des Impulsoperators:

$[A,\hat{p}]=0 \iff A=f(\hat{p}).$

Insbesondere gilt für den Ortsoperator die kanonische Vertauschungsrelation $[\hat{p},\hat{x}]= \frac{\hbar}{i} \mathbf{1}$ . Diese Relation impliziert direkt die Heisenbergsche Unschärferelation $\Delta \hat{p} \cdot \Delta \hat{q}\geq\frac{\hbar}{2}$ .
Die Impulsdarstellung ist durch die Spektraldarstellung des Impulsoperators definiert: es ist die Darstellung $\mathbf{H} \to L^2(\mathbb{R})$ , in der der Impulsoperator als Multiplikationsoperator mit den Koordinatenfunktionen $p i$ (im Impulsraum) dargestellt wird. Der Impulsoperator ist also sozusagen der Ortsoperator des Impulsraumes.

Warum ist der Impulsoperator ein Differentialoperator?

Warum der Impulsoperator ein Differentialoperator ist, ist eine der fundamentalen Fragen der Quantentheorie. Hier soll ein kurzer Einblick in die zahlreichen möglichen Antworten auf diese Frage gegeben werden.

Im Sinne der kanonischen Quantisierung entsteht die Quantenmechanik aus der klassischen Mechanik im Hamilton-Formalismus, indem klassische Observablen, die Funktionen auf dem Phasenraum sind, durch selbstadjungierte Operatoren auf einem Hilbertraum ersetzt werden. Die Hauptforderung der kanonischen Quantisierungen ist dann, dass die klassischen Beziehungen zwischen Orts- und Impulskoordinatenfunktionen im Sinne der Poisson-Klammer auf Kommutatorrelationen der entsprechenden Operatoren abgebildet werden:

$\{p_j,x_k\}=\delta_{jk} \leftrightarrow [\hat{p}_j,\hat{x}_k]= \frac{\hbar}{i} \delta_{jk}\mathbf{1}.$

Der mathematische Satz von Stone und von Neumann sagt dann aus, dass bei Wahl des Multiplikationsoperators als Ortsoperator der oben angegebene Differentialoperator die einzig mögliche Wahl für den Impulsoperator ist.

Das Noether-Theorem der klassischen Mechanik zeigt eine tiefgründige Verbindung zwischen Symmetrien und Erhaltungsgrößen, also Observablen, die durch die Dynamik des Systems ihre Messwerte nicht verändern, auf. Die Übertragung dieses Prinzips in die Quantenmechanik erfordert, dass Symmetrien auch in dieser Theorie durch die entsprechenden Observablen charakterisiert werden. Betrachten wir daher im Sinne des Noether-Theorems die Wirkung der Translationen im Ortsraum, die zur Erhaltung des Gesamtimpulses korrespondieren, so erhalten wir als (unitären) Translationsoperator auf den Wellenfunktionen (hier betrachten wir den eindimensionalen Fall):

T a [ψ(x)]: = ψ(x - a).

Die Erzeugende dieser einparametrigen Schar von Symmetrien ist dann

$\hat{p}:=i \hbar\frac{\mathrm d}{\mathrm d a}T_a[\psi(x)]= \frac{\hbar}{i}\frac{\mathrm d}{\mathrm d x} \psi(x),$

wobei der Faktor $\hbar$ aus Dimensionsgründen eingefügt wird sowie die imaginäre Einheit, damit der Operator selbstadjungiert ist.

Siehe auch

Kategorien: Quantenphysik | Quantenchemie

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