Konformes Killing-Vektorfeld

Ein konformes Killing-Vektorfeld ist ein Vektorfeld auf einer semi-riemannschen Mannigfaltigkeit, dessen Fluss Winkelerhaltend ist.

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Konforme Killing-Vektorfeld sind keine Killing-Vektorfelder, da sie die Metrik nicht erhalten. Der Begriff ist also eine Erweiterung des Begriffs Killing-Vektorfeld. Konforme Killing-Vektorfeld skalieren die Metrik um eine glatte Funktion. Sie sind damit die infinitesimalen Generatoren von konformen Transformationen, die Isometrien, aber auch Dilatationen und spezielle konforme Transformationen umfassen.

Definition

Ein Vektorfeld X ist ein konformes Killing-Vektorfeld, wenn die Lie-Ableitung der Metrik g bezüglich X proportional zur Metrik ist:

Dabei ist Ω eine glatte Funktion auf der Mannigfaltigkeit und heißt konformer Killingfaktor. Im Ausdruck bezüglich des Levi-Civita-Zusammenhangs bedeutet dies

für alle Vektoren Y und Z. In lokalen Koordinaten führt dies zur sogenannten konformen Killing-Gleichung

Bedeutung

Die von den konformen Killing-Vektorfeldern generierte konforme Gruppe ist insbesondere in der Festkörperphysik eine häufig verwendete Symmetriegruppe. Dabei wird angenommen, dass das physikalische System über viele Größenskalen gleich aussieht. Die quantenfeldtheoretische Beschreibung solcher System erfolgt mittels konformer Quantenfeldtheorien. Konforme Quantenfeldtheorien in zwei Raumzeitdimensionen spielen auch in der Stringtheorie eine große Rolle.