Madelunggleichungen

Die Madelunggleichungen sind eine von Erwin Madelung (1881-1972) formulierte Alternative der Schrödingergleichung.

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Ersetzt man dort die komplexe Funktion $ψ$ durch ihren Betrag $ρ$ und ihre Phase S, gemäß $\psi= \sqrt{\rho} e^{\frac{i}{\hbar} S}$ erhält man die Madelunggleichungen:

$\partial_t \rho +\frac{1}{m}\nabla(\rho S)= 0$

$\partial_t S +\frac{1}{2m}(\nabla S)^2 +V(x)- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\Delta \sqrt{\rho}}{\sqrt{\rho}}= 0$

Die erste hat die Form einer Kontinuitätsgleichung,

die zweite ist eine Hamilton-Jacobi-Gleichung (siehe Kanonische Gleichungen).

S interpretiert man als Wirkung, $\nabla S$ als Impuls.

Aufgrund ihrer Nichtlinearität sind die Madelunggleichungen allerdings schwierig zu handhaben, zeigen aber andersherum, dass sich nichtlineare Gleichungen auf lineare Gleichungen zurückführen lassen.

Kategorie: Quantenphysik

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