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Magnetohydrodynamik

Magnetohydrodynamik

Die Magnetohydrodynamik (MHD) ist ein Teilgebiet der Physik und beschreibt die Wechselwirkung eines elektrisch leitenden Fluids mit elektrischen und magnetischen Feldern. Typische Beispiele für solche Fluide sind Plasmen, flüssige Metalle, Elektrolyte und Halbleiterschmelzen. Die grundlegenden Gleichungen der MHD sind die Navier-Stokes-Gleichungen der Hydrodynamik und die Maxwell-Gleichungen der Elektrodynamik.

Die am weitesten verbreitete technische Anwendung der Magnetohydrodynamik ist die elektromagnetische Durchflussmessung, die auch als magnetisch-induktive Durchflussmessung bezeichnet wird. Mit dieser Methode werden Strömungen von Bier, Milch, Joghurt, Trinkwasser, Tomatenketchup, Chemikalien und Abwässern gemessen.

Eine andere Anwendung der Magnetohydrodynamik ist der Magnetohydrodynamische Antrieb. Diese Anwendung wurde ursprünglich für militärische Zwecke entwickelt und in den Neunziger Jahren des vergangenen Jahrhunderts im zivilen Bereich erprobt. MHD-Antriebe haben jedoch wegen ihres geringen Wirkungsgrades weder militärische noch zivile Bedeutung erlangt.

Das Magnetfeld der Erde wird durch magnetohydrodynamische Phänomene im flüssigen Erdkern erzeugt. Weiterhin erfordert die Entwicklung künftiger Anlagen für die Kernfusion die technische Beherrschung magnetohydrodynamischer Instabilitäten in Plasmen.

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Theorie

Ideale MHD

Die Ideale MHD ist eine gegenüber der realen MHD vereinfachte Theorie, mit der magnetohydrodynamische Vorgänge in Plasmen näherungsweise beschrieben werden können. Die Gleichungen der Idealen MHD finden beispielsweise bei der Berechnung der Kernfusion sowie bei astrophysikalischen Problemen Anwendung. Die Grundannahmen der Idealen MHD sind:

Das Plasma wird als ein homogenes Fluid betrachtet.
Das Plasma besitzt eine unendlich hohe elektrische Leitfähigkeit.
Das Plasma besitzt eine verschwindende Viskosität.

Die resultierenden Gleichungen ergeben sich aus den Navier-Stokes-Gleichungen, den Maxwell-Gleichungen und dem ohmschen Gesetz. Des Weiteren ist eine Zustandsgleichung notwendig, die hier nicht angegeben wird. In der dritten Gleichung findet man rechts neben dem Druck einen Term, der als magnetischer Druck bezeichnet wird. Sie enthält ferner einen zusätzlichen Term, der die magnetische Spannung beschreibt.

$\begin{matrix} \partial_t \varrho + \nabla \cdot(\varrho \mathbf{v})&=&0 \\ \partial_t e + \nabla \cdot(e \mathbf{v})&=& -p\, \nabla \cdot \mathbf{v}\\ \partial_t \varrho\mathbf{v} + \nabla\cdot (\varrho\mathbf{v} \otimes \mathbf{v}) &=& - \nabla (P+\frac{B^2}{2\,\mu_0}) - \varrho\,\nabla\Phi + \frac{1}{\mu_0}\,(\mathbf{B}\cdot\mathbf{\nabla})\,\mathbf{B}\\ \partial_t \mathbf{B} &=& \nabla \times (\mathbf{v}\times \mathbf{B}) \end{matrix}$

Die Symbole besitzen ihre üblichen Bedeutungen. $Φ$ bezeichnet das Potenzial einer äußeren Kraft, z.B. infolge der Gravitation; $\otimes$ bezeichnet das dyadische Produkt. Der hydrostatische Druck $P$ wird durch den magnetischen Druck $B^2/2\,\mu_0$ ergänzt, der unter Umständen einen wesentlichen Einfluss auf die Dynamik haben kann.

Eingefrorenes magnetisches Feld

Bewegt sich ein Plasma in einem Magnetfeld, so entstehen im Inneren elektrische Ströme. Diese Ströme wiederum tragen zu einem weiteren Magnetfeld bei, das den außen angelegten Feldern überlagert ist und diese verformt. Falls sich dieser Zustand stabil erhalten lässt, sind das Plasma und das resultierende Magnetfeld miteinander verbunden, das Magnetfeld erscheint im Plasma wie eingefroren. Das passiert genau dann ideal (d.h. vollständig), wenn der elektrische Widerstand 0 wird, also verschwindet. Das ist in sehr heißem Plasma der Fall. In der Natur können derartige Erscheinungen z.B. bei der Sonne in den so genannten Schleifenprotuberanzen beobachtet werden.

Alfvén-Wellen

Im Inneren des Fluids können transversale magnetosonische Wellen auftreten, die so genannten Alfvén-Wellen (siehe Plasmawellen).

Anwendungen

Geodynamo

Das Magnetfeld der Erde wird durch den sogenannten Geodynamo erzeugt, der durch die Gleichungen der Magnetohydrodynamik beschrieben wird. Das Erdmagnetfeld entsteht im äußeren Erdkern, der vorwiegend aus flüssigem Eisen besteht (siehe Entstehung und Aufrechterhaltung des Erdmagnetfeldes (Geodynamo)).

Die im Zusammenhang mit einem Geodynamo auftretenden partiellen Differentialgleichungen können nur in stark vereinfachten Fällen analytisch gelöst werden. Numerische Verfahren liefern seit Mitte der 1990er Jahre erste Ansätze zum Verständnis der Dynamik des Erdmagnetfeldes.

Elektromagnetische Durchflussmessung

Bewegt sich ein elektrisch leitfähiges Fluid unter dem Einfluss eines Magnetfeldes, so wird in dem Fluid eine Spannung erzeugt, die der Stärke des Magnetfeldes und der Strömungsgeschwindigkeit proportional ist. Dieses Prinzip wurde 1832 von Michael Faraday entdeckt, der auf diese Weise (erfolglos) versuchte, die Fließgeschwindigkeit der Themse zu bestimmen. Das Prinzip findet heute in Gestalt von elektromagnetischen Durchflussmessern (auch induktive Durchflussmesser genannt), breite Industrielle Anwendungen in Lebensmittelindustrie, chemischer Industrie sowie in Wasserwerken.

MHD-Generator

Eine technische Anwendung der Magnetohydrodynamik ist der magnetohydrodynamische Generator (MHD-Generator). Hierbei wird ein Plasma zwischen zwei leitenden Elektroden hindurchgeschossen. Senkrecht zu den Elektroden wird ein Magnetfeld angelegt, das dann die Elektronen und positiven Ionen wegen der unterschiedlichen Ladungen trennt. Zwischen den Platten entsteht somit eine Spannungsdifferenz. Auf diese Weise kann kinetische Energie direkt in elektrische Energie umgewandelt werden, ohne mechanische Komponenten (Turbinen oder Generatoren) benutzen zu müssen. Trotz intensiver Anstrengungen, insbesondere in den 1960-er Jahren, ist es nicht gelungen, langzeitstabile Elektroden zu entwickeln. Aus diesem Grunde besitzt der MHD-Generator gegenwärtig keinerlei praktische Bedeutung.

MHD-Antrieb

Eine elektrisch leitfähige Substanz wie zum Beispiel ein Plasma kann in einem elektromagnetischen Feld beschleunigt werden (Magnetoplasmadynamischer Antrieb). Da auch Meerwasser und Ionisierte Luft als Ionengemische leitfähig sind, können sie in ebenfalls in einem elektromagnetischen Feld beschleunigt werden (Magnetohydrodynamischer Antrieb). Diese Eigenschaften können im Prinzip zum Antrieb von Schiffen, U-Booten und Fluggeräten genutzt werden. Der Wirkungsgrad solcher Anlagen ist jedoch gering. Aus diesem Grund besitzt der MHD-Antrieb heute keine praktische Bedeutung.

MHD-Sensor

Magnetohydrodynamische Sensoren werden genutzt, um Winkelgeschwindigkeiten zu messen. Die Genauigkeit steigt mit der Größe. Ein Einsatzgebiet ist die Luft- und Raumfahrt. Das Prinzip eines MHD-Sensors, das auch die prinzipielle Idee der Magnetohydrodynamik (MHD) insgesamt verstehen hilft, ist in dieser Skizze dargestellt:

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