Meine Merkliste

Home
Lexikon
Maxwellsche_Gleichungen

Maxwellsche Gleichungen

Die vier maxwellschen Gleichungen beschreiben die Erzeugung von elektrischen und magnetischen Feldern durch Ladungen und Ströme, sowie die Wechselwirkung zwischen diesen beiden Feldern, die bei zeitabhängigen Feldern in Erscheinung tritt. Sie sind die Grundlage der Elektrodynamik und der theoretischen Elektrotechnik und wurden in den Jahren 1861 bis 1864 von James Clerk Maxwell entwickelt. Im Wesentlichen fasste Maxwell die bis zu diesem Zeitpunkt entdeckten Gesetzmäßigkeiten

in einer vereinheitlichten Theorie zusammen und ergänzte sie um

den maxwellschen Verschiebungsstrom,

um Konsistenz mit der Kontinuitätsgleichung zu erhalten. Somit sind die maxwellschen Gleichungen ein Standardbeispiel für eine vereinheitlichte Theorie, die verschiedene Phänomene, hier magnetische und elektrische, in einer geschlossenen Form erklären kann. Die maxwellschen Gleichungen wurden aus Erfahrungen und Experimenten entwickelt, daher ist die maxwellsche Theorie auch eine makroskopische Theorie.

Weiteres empfehlenswertes Fachwissen

Richtiges Wägen mit Laborwaagen: Die Wägefibel

Wie kann man Pipetten schnell überprüfen?

Leitfaden für die Waagenreinigung: 8 einfache Schritte

Inhaltsverzeichnis

1 Übersicht
2 Erläuterungen
- 2.1 Skalare Felder
- 2.2 Vektorfelder
3 Zusammenhang
4 Maxwellgleichungen in Materie
5 Maxwellgleichungen für konstante Frequenzen ω in komplexer Schreibweise
6 Kovariante Formulierung der Maxwellgleichungen
7 Maxwellgleichungen unter Berücksichtigung hypothetischer, magnetischer Monopole
8 Maxwellsche Gleichungen unter Berücksichtigung einer hypothetischen Photonenruhemasse
9 Literatur

Übersicht

Für das Verständnis der folgenden Gleichungen sind Grundkenntnisse in Vektoranalysis erforderlich. Die maxwellschen Gleichungen lassen sich in differentieller und in integraler Form darstellen. Die Äquivalenz beider Formulierungen beruht auf dem Satz von Stokes und dem Satz von Gauß. Daneben gibt es eine elegante vierdimensionale Formulierung, die sogenannte kovariante Form (s. u.), die z. B. in der Relativitätstheorie und der Quantenelektrodynamik verwendet wird.

**Maxwellsche Gleichungen in SI-Einheiten**
differentielle Form	verknüpfender Integralsatz	Integralform
Physikalisches Gaußsches Gesetz: Das $\boldsymbol D$ -Feld ist ein Quellenfeld. Die Ladung (Ladungsdichte ρ) ist Quelle des elektrischen Feldes.	Gauß	Der (elektrische) Fluss durch die Oberfläche $\partial V$ eines Volumens V ist gleich der elektrischen Ladung in seinem Inneren.
$\mbox{div}\,\boldsymbol D=\rho$ oder $\boldsymbol \nabla \cdot \boldsymbol D=\rho$	$\Leftrightarrow$	$\oint_{\partial V} \boldsymbol D\;\cdot\mathrm{d}\boldsymbol A=\int_V\rho\;\mathrm{d}V$
Das $\boldsymbol B$ -Feld ist quellenfrei. Es gibt keine magnetischen Monopole.	Gauß	Der magnetische Fluss durch die Oberfläche eines Volumens ist gleich der magnetischen Ladung in seinem Inneren, nämlich Null, da es keine magnetischen Monopole gibt.
$\mbox{div}\,\boldsymbol B=0$ oder $\boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol B=0$	$\Leftrightarrow$	$\oint_{\partial V} \boldsymbol B\;\cdot\mathrm{d}\boldsymbol A=0$
Induktionsgesetz (Vorsicht: Die Integralformulierung ist an dieser Stelle allgemeiner. Siehe auch Differentielle und integrierte Form): Jede Änderung des $\boldsymbol B$ -Feldes führt zu einem elektrischen Gegenfeld. Die Wirbel des elektrischen Feldes sind von der zeitlichen Änderung der magnetischen Induktion abhängig.	Stokes	Die (elektrische) Zirkulation über dem Rand $\partial A$ einer Fläche A ist gleich der negativen zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses durch die Fläche. Hinweis: die unten dargestellte Formel gilt, letztlich wegen der relativistischen Invarianz der Maxwell-Theorie, in der angegebenen Form auch bei zeitlich veränderlicher Fläche. Die Integralformulierung ist in diesem Punkt allgemeiner. Siehe Differentielle und integrierte Form.
$\mbox{rot}\,\boldsymbol E+\frac{\partial\boldsymbol B}{\partial t}=0$ oder $\boldsymbol\nabla\times\boldsymbol E+\frac{\partial\boldsymbol B}{\partial t}=0$	$\Leftrightarrow$	$\oint_{\partial A}\boldsymbol E\;\cdot\mathrm{d}\boldsymbol s+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\int_A\boldsymbol B\;\cdot\mathrm{d}\boldsymbol A)=0$
Verallgemeinertes Durchflutungsgesetz: (Hinweis: Bezüglich der größeren Allgemeinheit der Integralformulierung gilt analoges wie beim Induktionsgesetz.) Die Wirbel des Magnetfeldes hängen von der elektrischen Leitungsstromdichte $\boldsymbol j_l$ und von der elektrischen Flussdichte $\boldsymbol D$ ab. Die zeitliche Änderung von $\boldsymbol D$ wird auch als Verschiebungsstromdichte $\boldsymbol j_v$ bezeichnet und ergibt als Summe mit der Leitungsstromdichte die totale Stromdichte $\boldsymbol j = \boldsymbol j_l + \boldsymbol j_v$ :	Stokes	Die magnetische Zirkulation über dem Rand einer Fläche ist gleich der Summe aus dem (elektrischen) Strom und der zeitlichen Änderung des elektrischen Flusses durch die Fläche.
$\mbox{rot}\,\boldsymbol H=\boldsymbol j_l + \frac{\partial\boldsymbol D}{\partial t}$ oder $\boldsymbol\nabla\times\boldsymbol H=\boldsymbol j_l + \frac{\partial\boldsymbol D}{\partial t}$	$\Leftrightarrow$	$\oint_{\partial A}\boldsymbol H\;\cdot\mathrm{d}\boldsymbol s=\int_A\boldsymbol j_l\;\cdot\mathrm{d}\boldsymbol A+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(\int_A\boldsymbol D\;\cdot\mathrm{d}\boldsymbol A )$

Siehe auch: Differentielle und integrierte Form

Erläuterungen

Skalare Felder

Das Symbol ρ steht dabei für die Raumladungsdichte und stellt die über den Raum verteilte elektrische Ladung dar. Die Verteilung der Ladung im Raum ist ein skalares Feld.

Vektorfelder

Oben eingeführte Vektorfelder lassen sich in drei Bereiche einteilen, welche durch ihren jeweiligen Satz von Gleichungen beschrieben werden. Diese drei Bereiche sind das elektrische Strömungsfeld, das elektrische Feld und das magnetische Feld.

Elektrisches Strömungsfeld

Die elektrische Stromdichte $\boldsymbol J$ als wesentlicher Bestandteil des Strömungsfeldes gibt an, wie viel Strom pro Fläche in welche Richtung fließt. Darin ist sowohl die Leitungsstromdichte, welche durch den Fluss von elektrischen Ladungsträgern meist in elektrischen Leitern verursacht wird, und der Verschiebungsstrom enthalten. Die elektrische Stromdichte ist über die Materialgleichungen der Elektrodynamik und der dabei auftretenden elektrischen Leitfähigkeit $σ$ mit der elektrischen Feldstärke $\boldsymbol E$ verknüpft.

Elektrisches Feld

$\boldsymbol D$ ist die elektrische Flussdichte, historisch und etwas verwirrend auch als elektrische Verschiebungsdichte oder als elektrische Erregung bezeichnet. Hierbei handelt es sich um die Dichte des elektrischen Flusses welcher von elektrischen Ladungen ausgeht. Die elektrische Flussdichte ist über die Materialgleichungen der Elektrodynamik und die dabei auftretenden dielektrischen Leitfähigkeit $\varepsilon$ mit der elektrischen Feldstärke $\boldsymbol E$ verknüpft. Noch allgemeiner gilt $\boldsymbol D =\epsilon_0\boldsymbol E+\boldsymbol P$ , mit der elektrischen Polarisation $\boldsymbol P$ , dem elektrischen Dipolmoment pro Volumen.

Magnetisches Feld

$\boldsymbol B$ ist die magnetische Flussdichte, auch historisch als Induktion bezeichnet. Hierbei handelt es sich um die Dichte des magnetischen Flusses welcher von bewegten elektrischen Ladungen oder von Permanentmagneten (z. B. „Spin-Magnetismus!") verursacht wird. Die magnetische Flussdichte ist über die Materialgleichungen der Elektrodynamik und die dabei auftretende magnetischen Leitfähigkeit $μ$ mit der magnetischen Feldstärke $\boldsymbol H$ verknüpft. Noch allgemeiner gilt $\boldsymbol B =\mu_0\boldsymbol H +\boldsymbol J$ , mit der magnetischen Polarisation $\boldsymbol J$ , dem magnetischen Dipolmoment pro Volumen (als Magnetisierung wird die i.W. zu $\boldsymbol J$ äquivalente Größe $\boldsymbol M =\boldsymbol J /\mu_0$ bezeichnet).

Die magnetische Polarisation $\boldsymbol J$ sollte nicht mit der Stromdichte $\boldsymbol j$ verwechselt werden.

Zusammenhang

Die in allen drei Bereichen auftretenden Materialgleichungen werden nicht direkt zu den maxwellschen Gleichungen gezählt, sondern die drei Gleichungssätze:

Maxwellsche Gleichungen
Materialgleichungen der Elektrodynamik
Kontinuitätsgleichungen der Elektrodynamik

stellen gemeinsam und unter gegenseitiger Ergänzung das Fundament der elektrodynamischen Feldtheorie dar. Die Materialgleichungen gelten in der allgemeinen Form sowohl für den leeren Raum als auch für mit Materie ausgefüllte Raumbereiche.

Aus historischen Gründen und manchmal auch um bestimmte Berechnungsvorgänge spezifisch darzustellen, werden die Materiegleichungen und die darin auftreten drei Leitfähigkeiten jeweils in den Anteil des leeren Raumes $\varepsilon_0$ bzw. $μ 0$ und den Anteil der Leitfähigkeit welcher durch die Materie verursacht wird $\varepsilon_r$ und $μ r$ aufgespalten. Das elektrische Strömungsfeld existiert nicht im leeren Raum und ist immer an Materie gebunden, wodurch bei der elektrischen Leitfähigkeit $σ$ als Stoffkonstante diese Aufspaltung nicht erfolgen kann.

Für das elektrische Feld ergibt sich durch die Aufspaltung der dieelektrischen Leitfähigkeit die Möglichkeit zur Einführung eines weiteren Vektorfeldes, der elektrischen Polarisation $\boldsymbol P$ . Hinweis: In der Fachliteratur wird manchmal die dielektrische Polarisation auch als elektrische Polarisation bezeichnet, da es dabei um das elektrische Feld geht. Da das Strömungsfeld keine Polarisation in diesem Kontext aufweist, ist diese Polarisation somit immer eindeutig dem elektrischen Feld zugewiesen. $\boldsymbol P$ beschreibt getrennt von den Eigenschaften des leeren Raumes die geänderten Verhältnisse in Materie für das elektrische Feld.

Analog dazu beschreibt die magnetische Polarisation $\boldsymbol J$ die von den Eigenschaften des leeren Raumes losgelösten Verhältnisse in Materie für das magnetische Feld. Aus der magnetischen Polarisation ergibt sich die Magnetisierung $\boldsymbol M=\boldsymbol J/\mu_0$ . (Im cgs-System sind die Verhältnisse verwirrender: $\boldsymbol J$ und $\boldsymbol M$ werden dort gleich bezeichnet, als cgs-Magnetisierung, und unterscheiden sich nur um einen Faktor $4π$ , je nachdem ob $\boldsymbol B$ oder $\boldsymbol H$ gemeint ist.)

Grundsätzlich kann ohne Verlust auf die Einführung der Vektorfelder der elektrischen Polarisation $\boldsymbol P$ und der magnetischen Polarisation $\boldsymbol J$ (bzw. der dazu äquivalenten Magnetisierung $\boldsymbol M$ ) verzichtet werden. Statt dessen werden die Abhängigkeiten in den Materialgleichungen und den entsprechend allgemein gefassten Leitfähigkeiten in Form von Tensoren höherer Ordnung berücksichtigt. Weiterhin können die Leitfähigkeiten auch Funktionen darstellen, um nichtlineare Eigenschaften der Materie erfassen zu können. Diese können sogar von der Vorbehandlung abhängen, also explizit zeitabhängig sein. Diese Vorgangsweise empfiehlt sich auch für einen systematischen Zugang, wenn dieser über das SI-Einheitensystem erfolgt. Aus historischen Gründen, aber auch in bestimmten Teilbereichen der Physik, wird allerdings manchmal sehr intensiv von den P- und J- (bzw. M)-Vektorfeldern Gebrauch gemacht, weshalb im Folgenden dieser Sachverhalt näher dargestellt wird.

Maxwellgleichungen in Materie

In Materie gilt allgemein:

$\boldsymbol D := \varepsilon \boldsymbol E = \varepsilon_0 \boldsymbol E + \boldsymbol P$

$\boldsymbol H := \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol B - \boldsymbol M$ oder

$\boldsymbol B := \mu \boldsymbol H =\mu_0 (\boldsymbol H + \boldsymbol M) = \mu_0 \boldsymbol H + \boldsymbol J\,\,,$

wobei sich im Spezialfall der Linearität bei Isotropie oder bei kubischen Systemen noch folgende Vereinfachung ergibt

$\boldsymbol D =\epsilon_0\epsilon_r \,\boldsymbol E$ und $\boldsymbol B =\mu_0\mu_r\,\boldsymbol H$ .

In anisotroper nicht-kubischer linearer Materie werden die Skalare $\varepsilon_r$ und $μ r$ zu Tensoren 2. Stufe wobei die Beziehungen weiterhin Gültigkeit behalten. In nichtlinearen Materialien, deren Leitfähigkeiten beispielsweise von den jeweiligen Momentanwerten der Feldstärken abhängen, sind $\varepsilon_r$ und $μ r$ als Funktionen von Frequenz und/oder Wellenzahl aufzufassen. Die $\boldsymbol P$ - und $\boldsymbol J$ -Felder (elektrische bzw. magnetische Polarisation genannt) verschwinden außerhalb der Materie was in den genannten Spezialfällen gleichwertig mit der Aussage ist, dass $\varepsilon_r=\mu_r=1$ wird.

Die dielektrische Polarisation ist dann mit der elektrischen Suszeptibilität $χ e$ , bzw. der relativen Permittivität $\varepsilon_r$ und der Vakuum-Permittivität (Dielektrizitätskonstante) $\varepsilon_0$ folgendermaßen verknüpft(im SI-System, d.h. in As/Vm):

$\boldsymbol P := \varepsilon_0 \chi_e \boldsymbol E = \varepsilon_0 \cdot ({\varepsilon_r}-1) \boldsymbol E$ , mit ${\varepsilon_r}=1+{\chi_e}$

Für die magnetische Polarisation $\boldsymbol J$ bzw. die Magnetisierung $\boldsymbol M=\frac{\mathbf J}{\mu_0}$ gilt entsprechend, mit der magnetischen Suszeptibilität $χ m$ , bzw. der relativen Permeabilität $μ r$ und der Vakuum-Permeabilität (magnetische Feldkonstante) $μ 0$ in Vs/Am:

$\boldsymbol J :=\mu_0 \chi_m \boldsymbol H =\mu_0\cdot ({\mu_r} - 1) \boldsymbol H$ , mit

μ r = 1 + χ m

(Vorsicht: im cgs-System sind $χ e$ und $χ m$ mit $4π$ zu multiplizieren!)

Weiter ergibt sich die Definition der Brechzahl mit

$n:= \sqrt{{\varepsilon_r \mu_r}}$ und der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum $c_0:= 1/ \sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}\,,$

was die Lichtgeschwindigkeit im Material mit den entsprechenden Konstanten in Verbindung bringt. So ist die Phasengeschwindigkeit im Medium

$c_p:=c_0 /n = 1 / \sqrt{\varepsilon_0 \mu_0 {\varepsilon_r \mu_r}}$ ,

die bei frequenzunabhängiger Brechzahl (ohne Dispersion) gleich der Gruppengeschwindigkeit im Medium ist.

Maxwellgleichungen für konstante Frequenzen $ω$ in komplexer Schreibweise

Die in den maxwellschen Gleichungen auftretenden Feldvektoren sind im allgemeinen nicht nur Funktionen des Ortes sondern auch der Zeit, beispielsweise $\boldsymbol H(x,y,z,t)$ . In den partiellen Differantialgleichungen tritt dann neben den Ortsvariablen auch die Zeitvariable auf. Zur vereinfachten Lösung dieser Differentalgleichungen beschränkt man sich in Praxis oft auf harmonische (sinusförmige) Vorgänge. Diese Darstellung ist für die praktische Feldberechnung, beispielsweise bei der Berechnung von elektromagnetischen Schirmen oder für die Antennentechnik von wesentlicher Bedeutung.

Mit Hilfe der komplexen Schreibweise lässt sich die Zeitabhängigkeit bei harmonischen Vorgängen vermeiden, da sich der komplexe Zeitfaktor $e j ω t$ dabei heraushebt. Die in den maxwellschen Gleichungen auftretenden Feldgrößen sind dann komplexe Amplituden und nur noch Funktionen des Ortes. An Stelle der partiellen Differentiation nach der Zeit tritt die Multiplikation mit dem imaginären Faktor $j ω$ . $ω$ wird auch als Kreisfrequenz bezeichnet.

In komplexer Form, komplexe Größen sind zur Unterscheidung unterstrichen, lauten die maxwellschen Gleichungen in Differentialform:

$\boldsymbol \nabla \cdot \underline{\boldsymbol D} = \underline{\rho}$

$\boldsymbol \nabla \cdot \underline{\boldsymbol B} = 0$

$\boldsymbol \nabla \times \underline{\boldsymbol E} = -j\omega \underline{\boldsymbol B}$

$\boldsymbol \nabla \times \underline{\boldsymbol H} = \underline{\boldsymbol j} = (\sigma + j \omega \varepsilon) \underline{\boldsymbol E}$

Kovariante Formulierung der Maxwellgleichungen

In diesem Absatz wird, wie im übrigen Artikel, das SI-Einheitensystem verwendet. Dieses und die damit verbundenen Faktoren $μ 0$ , $\varepsilon_0$ etc. empfinden viele Theoretiker gerade bei der kovarianten Formulierung der Elektrodynamik als unnatürlich und verwenden andere Systeme, etwa Gauß-Einheiten oder Heaviside-Lorentz-Einheiten, in denen die Grundgrößen der Elektrodynamik anders definiert werden. In der Literatur können deshalb verglichen mit dieser Darstellung Vorfaktoren wegfallen, hinzukommen oder an andere Stellen rücken.

Die Elektrodynamik, wie sie durch die Maxwellgleichungen beschrieben wird, ist im Gegensatz zur newtonschen Mechanik verträglich mit der speziellen Relativitätstheorie. Dazu gehört, dass die Maxwellgleichungen in jedem Inertialsystem gelten, ohne dass sich beim Wechsel des Bezugssystems ihre Form ändert. Dies spielte historisch für die Entwicklung der Relativitätstheorie durch Albert Einstein eine wichtige Rolle.

Technischer formuliert sind die Maxwellgleichungen relativistisch kovariant oder forminvariant, das heißt, dass sie ihre Gestalt unter Lorentz-Transformationen nicht ändern.

Diese Eigenschaft ist den Maxwellgleichungen in der oben beschriebenen Form jedoch nicht ohne weiteres anzusehen. Es kann deshalb nützlich sein, durch eine Umformulierung der Theorie die Forminvarianz herauszuarbeiten, anders ausgedrückt: die Theorie „manifest kovariant“ zu schreiben.

Hierzu ist es zweckmäßig, die oben auftretenden Größen $\boldsymbol{E}$ , $\boldsymbol{B}$ usw. durch Größen ausdrücken, die ein klar definiertes, einfaches Transformationsverhalten unter Lorentz-Transformationen haben, also durch Lorentz-Skalare, Vierervektoren und Vierer-Tensoren höherer Stufen.

Ausgangspunkt für diese Umformulierung bilden die elektromagnetischen Potentiale $φ$ (skalares Potential) und $\boldsymbol{A}$ (Vektorpotential), aus denen man die elektrischen und magnetischen Felder durch

$\boldsymbol{E} = -\boldsymbol{\nabla} \phi - \partial_t \boldsymbol{A}$
$\boldsymbol{B} = \boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{A}$

erhält (siehe auch Elektrodynamik). Diese Größen lassen sich zu einem Vierervektor, dem Viererpotential

$A^\mu = \left(\frac{\phi}{c}, \boldsymbol{A} \right)$

zusammenfassen. Ebenso kann man aus Ladungsdichte $ρ$ und Stromdichte $\boldsymbol{j}$ die Viererstromdichte zusammensetzen, mit

$j^\mu = (c \rho, \boldsymbol{j})$ .

Aus dem Viererpotential wird der elektrodynamische Feldstärketensor abgeleitet, dessen Komponenten bis auf Vorzeichen und konstante Vorfaktoren, die vom Einheitensystem abhängen, gerade die der elektrischen und magnetischen Felder sind. Er hat die Form

$F^{\alpha\beta} = \partial^\alpha A^\beta - \partial^\beta A^\alpha = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{E_x}{c} & -\frac{E_y}{c} & -\frac{E_z}{c} \\ \frac{E_x}{c} & 0 & -B_z & B_y \\ \frac{E_y}{c} & B_z & 0 & -B_x \\ \frac{E_z}{c} & -B_y & B_x & 0 \\ \end{pmatrix}$ .

Man definiert nun den Vierergradienten, die relativistische Form der Ableitung, als

$\partial^\alpha=\left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, -\nabla \right)$ , also $\partial_\alpha=\left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, +\nabla \right)$ , sowie die Differentiale

d x α = (c d t,d x,d y,d z)

, die bei der Behandlung der Maxwellschen Gleichungen im Artikel Differentialformen benötigt werden, der an dieser Stelle auch empfohlen wird.

Mit diesen Größen kann man die beiden inhomogenen Maxwellgleichungen im Vakuum durch die kovariante Gleichung

$\partial_{\alpha} F^{\alpha\beta} = \mu_0 j^{\beta}$

ersetzen. Dabei wird, wie üblich, die einsteinsche Summenkonvention benutzt, das heißt, über doppelt auftretende Indizes in Produkten (hier $α$ ) wird summiert. Ferner erfolgt wie üblich das Herauf- und Herunterziehen von Indizes mit dem Tensor $\mathbf{\eta}$ = diag(+1,-1,-1,-1) .

Man beachte, dass wegen der Antisymmetrie des Feldstärketensors auch die Kontinuitätsgleichung (Verschwinden der 4er-Divergenz) folgt

$\frac{1}{c} \partial_t \rho + \mbox{div}\,\boldsymbol{j} = \mu_0 \partial_{\beta} j^{\beta} = \partial_{\alpha} \partial_{\beta} F^{\alpha\beta} = - \partial_{\alpha} \partial_{\beta} F^{\beta\alpha} = - \partial_{\beta} \partial_{\alpha} F^{\beta\alpha} = 0$ .

Die beiden homogenen Maxwellgleichungen erhalten im Vakuum die manifest kovariante Form

$\partial_\alpha F_{\beta\gamma} + \partial_\beta F_{\gamma\alpha} + \partial_\gamma F_{\alpha\beta} = 0$

Dies wird auch häufig mit dem Levi-Civita-Symbol kompakter geschrieben als

$\varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta} \partial_\alpha F_{\gamma\delta} = 0$

oder

$\partial_\alpha \mathcal{F}^{\alpha\beta} = 0$

mit dem dualen Feldstärketensor

$\mathcal{F}^{\alpha\beta} = \frac{1}{2} \varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta} F_{\gamma\delta},$

dessen Komponenten man auch aus denen von $F αβ$ erhalten kann, indem man die Vektoren $\boldsymbol{E}/c$ durch $\boldsymbol{B}$ und $\boldsymbol{B}$ durch $-\boldsymbol{E}/c$ ersetzt. Also

$\mathcal{F}^{\alpha\beta} = \begin{pmatrix} 0 & -B_x & -B_y & -B_z \\ B_x & 0 & \frac{E_z}{c} & -\frac{E_y}{c} \\ B_y & -\frac{E_z}{c} & 0 & \frac{E_x}{c} \\ B_z & \frac{E_y}{c} & -\frac{E_x}{c} & 0 \\ \end{pmatrix}$ .

Differentialformen ermöglichen eine besonders übersichtliche Darstellung der Maxwellgleichungen, die zudem automatisch kovariant ist, wenn man von Anfang an nicht im euklidischen Raum, sondern im Minkowski-Raum arbeitet. Dabei werden Viererpotential und Viererstromdichte durch die 1-Formen $\mathbf A$ und $\mathbf j$ dargestellt, der Feldstärketensor durch die 2-Form $\mathbf F=\mathrm d\mathbf A$ und sein Dual durch die 2-Form $*\mathbf{F}$ (das Symbol $d$ steht bei Differentialformen für eine formale Ableitung und nicht etwa für ein unendlich kleines Differential). Die Maxwellgleichungen im Vakuum lauten dann (in Heaviside-Lorentz-Einheiten) $*\mathrm d*\mathbf{F}=\mathbf j$ und $\mathrm d\mathbf F=0$ .

Maxwellgleichungen unter Berücksichtigung hypothetischer, magnetischer Monopole

Magnetische Monopole treten in einigen GU-Theorien als mögliche oder notwendige Bestandteile auf. Mit ihnen ließe sich die Quantelung der elektrischen Ladung erklären, wie Paul Dirac schon 1931 erkannte. Bislang ist allerdings kein magnetischer Monopol beobachtet worden. Daher wird in den oben genannten Maxwellgleichungen auch angenommen, dass keine magnetischen Monopole (magnetische Ladungen) existieren.

Sollten in der Zukunft dennoch solche magnetischen Ladungen gefunden werden, so lassen sich diese in den Maxwellgleichungen problemlos berücksichtigen.

Setzt man $ρ m$ für die Monopolladungsdichte, $\boldsymbol{j}_m=\rho_m \boldsymbol{v}_m$ für die Stromdichte und $\boldsymbol{v}_m$ für die Geschwindigkeit der sich bewegenden magnetischen Monopolladungen, so ändern sich nur zwei der vier oben genannten Gleichungen in differentieller Form zu

$\mbox{div}\,\boldsymbol{B}=\rho_m$

Interpretation: Die Feldlinien der magnetischen Flussdichte beginnen und enden in einer magnetischen Ladung.

$\mbox{rot}\,\boldsymbol{E}=-\left(\frac{\partial}{\partial t}\boldsymbol{B}+\boldsymbol{j}_m\right)$

Interpretation: Sich zeitlich ändernde magnetische Flussdichten oder das Vorhandensein von magnetischen Stromdichten führen zu elektrischen Wirbelfeldern.

Die anderen beiden Gleichungen bleiben unverändert, während sich aber natürlich für die beiden neuen differentiellen (d. h. lokalen) Gleichungen auch neue integrale (d. h. globalen) Darstellungen ergeben, die aber ohne weiteres mit den Integralsätzen von Gauß und Stokes berechnet werden können.

Der Fall der verschwindenden Monopole $ρ m = 0$ führt wieder auf die bekannten, oben angegebenen Gleichungen zurück.