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Observable

"Observable" ist in der Physik, insbesondere in der Quantenphysik, der formale Name für eine Messgröße, bzw. für eine spezielle Klasse von Operatoren, die in einem abstrakten Hilbert-Raum, meist physikalscher Hilbert-Raum genannt, wirken. Beispiele für Observable sind die Energie, die Ortskoordinaten, die Koordinaten des Impulses und die Komponenten des Spins eines quantalen Teilchens.

Von-Neumannsche Theorie quantenmechanischer Observablen

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Im traditionellen von-Neumann'schen mathematischen Formalismus der Quantenmechanik werden Observablen durch selbstadjungierte lineare Operatoren $A$ auf einem Hilbertraum $\mathcal{H}$ dargestellt. Der Begriff "Observable" wird oft synonym für die Messgröße, sowie für den zugeordneten Operator verwendet. Diese Theorie verallgemeinert die Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation. Das Ergebnis einer Messung der Observablen zu $A$ eines quantenmechanischen Systems, dessen Zustand durch einen normierten Vektor $\Psi\in\mathcal{H}$ beschrieben wird, ist zufällig mit einer Wahrscheinlichkeitsverteilung $P$ , die durch

$P[B]=\langle\Psi|\lambda(B)\Psi\rangle$

gegeben ist, wobei $λ$ das Spektralmaß von $A$ nach dem Spektralsatz bezeichnet.

Wird allgemeiner der quantenmechanische Zustand des Systems durch einen Dichteoperator $ρ$ beschrieben, so wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Messergebnisses durch

$P[B]=\operatorname{Spur}(\lambda(B)\rho)$

gegeben.

Der Erwartungswert des Messergebnisses, also der Erwartungswert der Wahrscheinlichkeitsverteilung $P$ , wird durch $\langle\Psi|A|\Psi\rangle$ bzw. durch $\operatorname{Spur}(A\rho)$ gegeben.

Im Spezialfall, dass das Spektrum von $A$ diskret und einfach ist, sind die möglichen Messergebnisse die Eigenwerte von $A$ . Die Wahrscheinlichkeit, den Eigenwert $a$ als Messergebnis zu finden, lautet dann $\langle\phi_a|\Psi\rangle^2$ bzw. $\langle\phi_a|\rho\phi_a\rangle$ , wobei $φ a$ einen normierten Eigenvektor zum Eigenwert $a$ bezeichnet.

Beispiele:

Der Observablen "Ort" eines quantalen Teilchens in einer Dimension entspricht der Multiplikationsoperator mit $x$ über $L_2(\mathbb{R})$ , der Ortsoperator.
Der Observablen "Impuls" eines quantalen Teilchens in einer Dimension entspricht der Differentialoperator $\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}$ über $L_2(\mathbb{R})$ ; genauer gesagt dessen selbstadjungierte Fortsetzung, der Impulsoperator. Hierbei bezeichnet $\hbar$ das Plancksche Wirkungsquantum.
Der Observablen "Energie" entspricht der Hamiltonoperator.

Moderne Beschreibung von Observablen durch POVM

Nicht in den traditionellen von-Neumann'schen Formalismus passt die Beschreibung von Zeitmessungen, zum Beispiel der Ankunftszeit eines quantalen Teilchens in einem Detektor. Eine genauere realistische formale Modellierung realer Experimente zeigt, dass auch die meisten realen Messungen an Quantensystemen nicht genau durch von-Neumannsche Observable beschrieben werden. Diese Defekte behebt die allgemeinere, neuere Beschreibung quantenmechanischer Observable durch positiv-operatorwertige Wahrscheinlichkeitsmaße, POVM.

Kategorien: Quantenphysik | Theoretische Chemie

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