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Orthotropie

Die Orthotropie ist eine Sonderform der Anisotropie. Die Orthotropie bezeichnet Werkstoffe, die richtungsabhängige Elastizitätseigenschaften haben, jedoch keine Kopplung zwischen Dehnungen und Schubverzerrungen besitzen. Die Orthotropie wird auch als rhombische Anisotropie bezeichnet.

Da es sich um ein richtungsabhängiges Verhalten handelt, ist die Orthotropie immer auf ein bestimmtes Koordinatensystem bezogen. Außerhalb dieses Koordinatensystems ist ein orthotroper Werkstoff in der Regel anisotrop. Orthotrope Werkstoffe sind in ihren Symmetrieachsen orthotrop.

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Inhaltsverzeichnis

1 Bildhaftes Erklärungsmodell
- 1.1 Beispiele
2 Bedeutung in der Konstruktion
3 Mathematische Formulierung
4 Literatur

Bildhaftes Erklärungsmodell

Die Tatsache, dass ein orthotroper Werkstoff nur in seinen Symmetrieachsen orthotrop ist, führt oft zur Verwechslung mit anisotropen Werkstoffen. Anhand eines Gewebes lässt sich die Orthotropie in den Symmetrieachsen bildhaft darstellen. Dehnt man ein rechteckiges Stück Stoff entlang einer Faserrichtung, so bleibt es reckteckig. Es ist also orthotrop (siehe: Bild 1). Dehnt man es jedoch außerhalb seiner Symmetrieachsen, so wird es zum Parallelogramm. Die nachgiebigen, schwarzen Fasern dehnen sich stärker als die grauen. Der Überkreuzungswinkel der Fasern ändert sich (siehe: Bild 2). Das Gewebe macht daher eine Schubverzerrung. Außerhalb der Symmetrieachsen ist das Gewebe also anisotrop.

Beispiele

Wabenkerne: Waben in Honigwaben-Form sind orthotrop. Sie sind entlang der Stege steifer als senkrecht dazu.
Holzbrett: Ein ebenes Brett ist entlang der Holzfasern steifer als senkrecht dazu. Dennoch macht es keine Schubverformung wenn man in Faserrichtung oder quer dazu zieht.
[Ausgeglichener Winkelverbund]: Zieht man an diesem speziellen Laminat in Richtung der Symmetrieachsen, so macht es keine Schubverformung.
Gewebe: Belastet man Gewebe (bzw. Kreuzverbunde) entlang der Faserrichtung (Symmetrieachsen), so machen sie keine Schubverformung. Außerhalb der Symmetrieachsen sind Gewebe anisotrop.
Unidirektionale Schichten

Bedeutung in der Konstruktion

Konstruktionswerkstoffe, mit unterschiedlichen Elastizitätsmoduln, sind vorzugsweise orthotrop. Die orthotropen Werkstoffe bieten den Vorteil der räumlich unterschiedlichen Elastizitätsmoduln ohne den Nachteil der Dehnungs-Schiebungs-Kopplung. Vollständig anisotrope Werkstoffe finden in der Praxis selten Anwendung. Schichtholz oder andere geschichtete Werkstoffe (z.B. der ausgeglichene Winkelverbund) werden so aufgebaut, dass sie orthotrop sind.

Mathematische Formulierung

Ein orthotroper Werkstoff kann daran erkannt werden, dass in seiner Steifigkeits- oder Nachgiebigkeitsmatrix die Koppelterme nicht besetzt sind. Schubspannungen führen nicht zu Dehnungen.

$\begin{bmatrix} \epsilon_1\\ \epsilon_2 \\ \epsilon_3 \\ \gamma_{23}\\ \gamma_{31} \\ \gamma_{12} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{E_1} & -\frac{\nu_{12}}{E_1} & -\frac{\nu_{13}}{E_1} & & & \\ -\frac{\nu_{21}}{E_2} & \frac{1}{E_2} & -\frac{\nu_{23}}{E_2} & & & \\ -\frac{\nu_{31}}{E_3} & -\frac{\nu_{32}}{E_3} & \frac{1}{E_3} & & & \\ & & & \frac{1}{G_{23}} & & \\ & & & & \frac{1}{G_{31}} & \\ & & & & & \frac{1}{G_{21}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sigma_1\\ \sigma_2 \\ \sigma_3 \\ \tau_{23}\\ \tau_{31} \\ \tau_{12} \end{bmatrix}$

Um das Elastizitätsgesetz aufzustellen sind 9 unabhängige Größen notwendig. Beim orthotropen Elastizitätsgesetz ist es nicht möglich, die Schubmoduln aus den Elastizitätsmoduln und den Querkontraktionszahlen zu ermitteln. Die Schubmoduln gehören hier zu den Grundelastizitätsgrößen.

Literatur

H. Altenbach, J. Altenbach, R. Rikards: Einführung in die Mechanik der Laminat- und Sandwichtragwerke. Stuttgart: Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie, 1996. ISBN 3-342-00681-1

Kategorie: Werkstoffeigenschaft

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