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Partikelgrößenverteilung

Partikelgrößenverteilung

Der Begriff der Partikelgrößenverteilung ist der Statistik entlehnt. Dort werden Häufigkeiten und Häufigkeitsverteilungen eines beliebigen Merkmals, z.B. Würfelaugen, Fertigungstoleranzen etc., betrachtet. Im Bereich der Partikelmesstechnik bzw. der Dispersitätsanalyse wird als Merkmal der Äquivalentdurchmesser eines Partikels gewählt. Aus der allgemeinen Häufigkeitsverteilung der Statistik wird somit die Partikelgrößenverteilung. Diese wird häufig auch als Korngrößenverteilung bezeichnet.

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Definitionen

Die Partikel einer dispersen Phase, d.h. Körner, Tropfen oder Blasen, werden mit Hilfe eines zu messenden Äquivalentdurchmessers unterschieden und geordnet. Zur Darstellung einer Partikelgrößenverteilung werden die Mengenanteile bestimmt, mit denen die jeweiligen Partikelklassen an der dispersen Phase beteiligt sind.

Es werden unterschiedliche Mengenarten verwendet. Werden die Partikel gezählt, so ist die Mengenart die Anzahl. Bei Wägungen hingegen ist es die Masse bzw. bei homogener Dichte $ρ$ das Volumen. Weitere leiten sich aus Längen, Projektions- und Oberflächen her. Man unterscheidet:

Mengenart	Index r
Anzahl	0
Länge	1
Fläche	2
Volumen (Masse)	3

Zur graphischen Darstellung wird ein normiertes Mengenmaß verwendet. Die Normierung ist erforderlich, um die Abhängigkeit der Mengenanteile von der verwendeten Gesamtmenge zu eliminieren. Auf diese Art ist beispielsweise das Ergebnis einer ersten Wägung von 100 g Gesamtmasse mit dem Ergebnis einer Wägung von 1 kg Gesamtmasse vergleichbar.

Es werden zwei Mengenmaße unterschieden:

Summenverteilung Q_r
Dichteverteilung q_r

Die Bezeichnungen Q bzw. q sind die Formelzeichen des Begriffs Quantil. Der Index r bezeichnet die Mengart gemäß obiger Tabelle.

Generell werden bei der graphischen Darstellung einer Partikelgrößenverteilung der Äquivalentdurchmesser x auf der Abszisse und das Mengenmaß Q bzw. q auf der Ordinate aufgetragen.

Summenverteilungskurve

Die Summenverteilungskurve Q_r(x) gibt die normierte Menge aller Partikel mit einem Äquivalentdurchmesser kleiner gleich x an. Im folgenden werden Summenverteilungen der beiden gebräuchlichsten Mengenarten explizit definiert:

Partikelzahl (r=0)

Sei N_i die Zahl aller untersuchten Partikel mit einem Durchmesser x kleiner oder gleich dem betrachteten Durchmesser x_i sowie N die Gesamtzahl aller untersuchten Partikel. Dann ist

Q₀(x_i)=N_i/N

Partikelmasse (r=3)

Sei m_i die Masse aller untersuchten Partikel mit einem Durchmesser x kleiner oder gleich dem betrachteten Durchmesser x_i sowie m die Gesamtmasse aller untersuchten Partikel. Dann ist

Q₃(x_i)=m_i/m

Für die anderen Mengenarten geht man analog vor.

Beispiel

Eine Wägung ergibt, dass 20g einer Probe der Gesamtmasse 100g durch ein Sieb mit einer Maschenweite von 1 mm gefallen und damit kleiner als 1 mm sind. Daher ist Q₃(1 mm) = 20g/100g = 0,2.

Aufgrund der Normierung, d.h. der jeweiligen Division durch die Gesamtmenge, gilt

Q_r(x = 0) = Q_r(x = x_min) = 0
Q_r(x = $\infty$ ) = Q_r(x = x_max) = 1

Das Mengenmaß Q_r ist stets dimensionslos.

Das folgende Diagramm zeigt eine typische Summenverteilungskurve mit den minimalen und maximalen Äquivalentdurchmessern x_min bzw. x_max:

Lineare Dichteverteilungskurve

Bildet man die Differenz zwischen den Mengenanteilen Q_r der Äquivalentdurchmesser x_u (untere Grenze) und x_o(obere Grenze), so gilt $Δ Q$ _r(x_u,x_o) = Q_r(x_o) - Q_r(x_u). Die diskrete Dichteverteilung q_r(x) ist dann definiert als

$q_{\rm r}(x_{\rm u},x_{\rm o}) = \frac{\Delta Q_{\rm r}(x_{\rm u},x_{\rm o})}{\Delta x}$

mit $Δ x$ = x_o - x_u. Im Falle einer differenzierbaren Summenverteilung Q_r(x) ist die Dichteverteilung die 1.Ableitung von Q_r(x):

$q_{\rm r}(x)=\frac{dQ_{\rm r}(x)}{dx}$

Die lineare Dichteverteilung q_r(x) hat - vorausgesetzt x ist ein Äquivalentdurchmesser - die Dimension m^-1. Das folgende Diagramm zeigt eine typische Dichteverteilungskurve:

Die markierte Fläche ist der im Intervall $Δ$ x=x_o - x_u enthaltene Mengenanteil $Δ$ Q_r der Partikel, deren Größe bzw. Äquivalentdurchmesser x zwischen x_u und x_o liegt. Aufgrund der Normierung der Summenverteilung Q_r muss die Fläche unterhalb der Dichteverteilungskurve immer gleich 1 sein:

$\int_{x_{\rm min}}^{x_{\rm max}} q_{\rm r}(x)\;dx=Q_{\rm r}(x_{\rm max})-Q(x_{\rm min}) = 1$

In der Praxis wird man es hingegen in der Regel mit diskreten Werten, das heißt einzelnen Werten, der Dichteverteilung zu tun haben. Die Dichteverteilung als Funktion ist nicht explizit bekannt. Es werden dann mehrere Möglichkeiten der Auftragung verwendet:

Histogramm

Die Dichteverteilung wird im Intervall $Δ$ x als konstant angenommen. Als Konsequenz ergibt sich ein Rechteck der Fläche $Δ$ Q_r = q_r(x_u,x_o) $Δ$ x.

Polygonzug

Der Wert der Dichteverteilung q_r für das Intervall (x_u,x_o) wird am Ort der arithmetischen Klassenmitte aufgetragen, d.h. bei x_m,a = (x_o + x_u)/2. Die sich ergebenden Datenpunkte werden als Näherung linear verbunden.

Spline-Interpolation

Wie beim Polygonzug wird der Wert der Dichteverteilung am Ort der arithmetischen Klassenmitte aufgetragen. Die Wert werden anschließend durch eine polynomiale Näherungsfunktion (Spline) verbunden. Dabei ist zu beachten, dass die auf diese Weise interpolierten Werte mathematischen und nicht physikalischen Ursprungs sind.

Die Dichteverteilung q_r(x) zeigt sehr häufig die Form einer Gaußschen Glocke. Weist die Verteilung lediglich ein Maximum auf, so spricht man von einer monomodalen Verteilung. Bei zwei Maxima ist die Verteilung bimodal. Der Abszissenwert des größten Maximums wird als Modalwert bezeichnet.

Logarithmische Dichteverteilung

Die Darstellung einer linearen Dichteverteilung q_r ist unpraktisch, wenn sich der Bereich der vorliegenden Äquivalentdurchmesser über mehr als eine Dekade erstreckt. Man spricht in diesem Zusammenhang ganz anschaulich von einer breiten Verteilung. Für diese Fälle ist es angebracht, eine logarithmisch geteilte Abszisse zu verwenden, da der Überblick dann wesentlich leichter fällt. Die logarithmische Dichteverteilung wird mit q_r* oder q_r,log gekennzeichnet. Der Wert der Dichteverteilung q_r* für das Intervall (x_u,x_o) wird am Ort der geometrischen Klassenmitte aufgetragen, d.h. bei x_m,g = (x_o * x_u)^0.5.

In der Praxis hat sich die logarithmische Auftragung gegenüber der linearen Auftragung oftmals als vorteilhaft herausgestellt. Das folgende Diagramm zeigt eine logarithmische Auftragung einer engen Verteilung.

Mathematisch betrachtet handelt sich bei der logarithmischen Auftragung um eine Substitution der Abszisse. Es gilt ganz allgemein:

$q_{\rm r}^*(s) = q_{\rm r}(x)\cdot\frac{dx}{ds}$

und mit s = lg x = ln x/2,3026 erhält man für die Umrechnung

$q_r^*({\rm lg}\,x) = 2,3026\cdot x \cdot q_{\rm r}(x)$

Es muss betont werden, dass die logarithmische Substitution der Abszisse zu einer Änderung des Kurvenverlaufs führt, d.h. unter anderem, dass sich der Modalwert verschiebt. Die Normierungsbedingung bleibt dagegen stets erfüllt.

Kategorie: Verfahrenstechnik

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