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Poisson-Gleichung
Weiteres empfehlenswertes FachwissenDie Poisson-Gleichung ist eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung: oder kürzer oder
d.h. in der Poissongleichung wird der Laplace-Operator Δ, angewendet auf eine Funktion Φ, gleich f gesetzt. Die homogene Form der Poisson-Gleichung ist die Laplace-Gleichung. ElektrostatikDa das elektrische Feld ein konservatives Feld ist, kann es über den Gradienten eines Potentials ausgedrückt werden, mit
Mit Anwendung eines weiteren Nabla-Operators ergibt sich
Gemäß der ersten Maxwellgleichung gilt jedoch auch
wobei die Ladungsdichte und ε0 die Permittivität sind. Damit folgt für die Poisson-Gleichung des elektrischen Feldes GravitationDie Gravitationsbeschleunigung ergibt sich aus dem Gravitationsgesetz zu
Der Fluss durch die Oberfläche eines beliebigen Volumens ist dann
wobei der Normalenvektor ist. In Kugelkoordinaten gilt
woraus folgt Aus einer durch eine Massendichte beschriebenen Massenverteilung ergibt sich die Gesamtmasse zu
Damit folgt
Mit dem Satz von Gauß ergibt sich für das Integral jedoch auch
und somit
Da die Form des Volumens beliebig ist, müssen die Integranden gleich sein, sodass ist. Die Gravitation stellt ein konservatives Kraftfeld dar, sodass die Beziehung gilt. Damit ergibt sich die Poisson-Gleichung der Gravitation zu
wobei sich das Minuszeichen weghebt. |
Dieser Artikel basiert auf dem Artikel Poisson-Gleichung aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation. In der Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar. |