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Poisson-Gleichung

Poisson-Gleichung

Die Poisson-Gleichung (nach Siméon Denis Poisson) beschreibt ein Randwertproblem, bei dem die Ableitungen eines Vektorfeldes auf der Oberfläche eines Volumens gegeben sind. Anwendung findet diese beispielsweise in der Elektrostatik (Gaußsches Gesetz). Ebenso kann man das Gravitationspotential einer gegebenen Massenverteilung bestimmen.

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Die Poisson-Gleichung ist eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung:

$\sum_{i=1}^n \frac{\partial^2}{\partial x_i^2}\,\Phi(x) = f(x)$

oder kürzer

$\nabla^2 \Phi = f$

oder

ΔΦ = f

d.h. in der Poissongleichung wird der Laplace-Operator $Δ$ , angewendet auf eine Funktion $Φ$ , gleich $f$ gesetzt.

Die homogene Form der Poisson-Gleichung ist die Laplace-Gleichung.

Elektrostatik

Da das elektrische Feld ein konservatives Feld ist, kann es über den Gradienten eines Potentials $\Phi(\mathbf r)$ ausgedrückt werden, mit

$\mathbf E(\mathbf r)=-\nabla \Phi(\mathbf r)$ .

Mit Anwendung eines weiteren Nabla-Operators ergibt sich

$\nabla \cdot \mathbf E(\mathbf r)= -\Delta \Phi(\mathbf r)$ .

Gemäß der ersten Maxwellgleichung gilt jedoch auch

$\nabla \cdot \mathbf E(\mathbf r)=\frac{\rho(\mathbf r)}{\epsilon_0}$ ,

wobei $\rho(\mathbf r)$ die Ladungsdichte und $ε 0$ die Permittivität sind.

Damit folgt für die Poisson-Gleichung des elektrischen Feldes

$\Delta \Phi(\mathbf r)=-\frac{\rho(\mathbf r)}{\epsilon_0}$

Gravitation

Die Gravitationsbeschleunigung ergibt sich aus dem Gravitationsgesetz zu

$\mathbf g=-\frac{GM}{r^2}\,\frac{\mathbf r}{r}$ .

Der Fluss durch die Oberfläche eines beliebigen Volumens ist dann

$\oint_A \mathbf g \, \mathrm d \mathbf A = -\oint_A \frac{GM}{r^2}\,\frac{\mathbf r}{r} \, \mathbf n \, \mathrm d A = -\oint_A \frac{GM}{r^2}\,\frac{\mathbf r}{r}\,\frac{\mathbf r}{r} \,\mathrm d A = -\oint_A \frac{GM}{r^2}\,\mathrm d A$ ,

wobei $\mathbf n=\frac{\mathbf r}{r}$ der Normalenvektor ist. In Kugelkoordinaten gilt

$dA=r^2 \sin(\theta) \, \mathrm d\theta \, \mathrm d \varphi$ ,

woraus folgt

$-\oint_A \frac{GM}{r^2}\,\mathrm d A = -\oint_A \frac{GM}{r^2}\,r^2 \sin(\theta)\, \mathrm d\theta \, \mathrm d \varphi=-\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi} GM \sin(\theta)\, \mathrm d\theta \, \mathrm d \varphi= -4 \pi G M$

Aus einer durch eine Massendichte $\rho(\mathbf r)$ beschriebenen Massenverteilung ergibt sich die Gesamtmasse zu

$M=\int_V \rho(\mathbf r)\,\mathrm d V$ .

Damit folgt

$-4 \pi G M = -4 \pi G \int_V \rho(\mathbf r)\,\mathrm d V$ .

Mit dem Satz von Gauß ergibt sich für das Integral jedoch auch

$\oint_A \mathbf g \, \mathrm d \mathbf A=\int_V \nabla \cdot \mathbf g\, \mathrm d V$ ,

und somit

$\int_V \nabla \cdot \mathbf g\, \mathrm d V = -4 \pi G \int_V \rho(\mathbf r)\,\mathrm d V$ .

Da die Form des Volumens beliebig ist, müssen die Integranden gleich sein, sodass

$\nabla \cdot \mathbf g = -4 \pi G \rho(\mathbf r)$

ist. Die Gravitation stellt ein konservatives Kraftfeld dar, sodass die Beziehung

$\mathbf g = -\nabla \Phi(\mathbf r)$

gilt. Damit ergibt sich die Poisson-Gleichung der Gravitation zu

$\nabla (\nabla \Phi(\mathbf r)) = \Delta \Phi(\mathbf r)= 4 \pi G \rho(\mathbf r)$ ,

wobei sich das Minuszeichen weghebt.

Kategorie: Elektrostatik

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