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Potentialtopf

Ein Potentialtopf ist die Region um ein lokales Minimum potentieller Energie. Energie in einem System, das in einem Potentialtopf gefangen ist, kann sich nicht in eine andere Energieform umwandeln, beispielsweise kinetische Energie im Fall eines Gravitations-Potentialtopfes.

Energie kann aus einem Potentialtopf entnommen werden, wenn dem System hinreichend Energie zugeführt wird, so dass das lokale Minimum überwunden werden kann. In der Quantenphysik kann Energie aus einem Potentialtopf entweichen, ohne dass Energie hinzugeführt werden muss. Ein Elementarteilchen kann durch den Tunneleffekt die Wände eines Potentialtopfes durchtunneln.

Der Graph einer zweidimensionalen Funktion potentieller Energie ist eine Oberfläche, die man sich wie die Erdoberfläche als eine Landschaft aus Hügeln und Tälern vorstellen kann. Ein Potentialtopf wäre ein Tal, das auf allen Seiten von höherem Terrain umgeben ist und das daher mit Wasser gefüllt werden könnte, ohne dass Wasser zu einem anderen, niedrigeren Minimum ablaufen würde.

Ein Potentialberg ist das Gegenteil eines Potentialtopfes, es ist die Region um ein lokales Maximum.

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Inhaltsverzeichnis

1 Mathematisch

Mathematisch

Der Umkehrpunkt ist dadurch gekennzeichnet, dass die kinetische Energie Null ist. Die gesamte Energie ist dann potentielle Energie. Im folgendem wird das H-Atom berechnet

Breite des Topfes

$E = - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0R}$ (man sieht, dass der maximale Abstand R von der Energie abhängt)

Radius:

$R = - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0E}$

Tiefe des Topfes

Variable	Bedeutung
E	Energie
$W 0$	Potentialtopftiefe
R	Potentialtopfbreite
$\varepsilon_0$	elektrische Permittivität
m	Elektronenmasse

Im Potentialtopf hat das Potential einen konstanten Wert $W 0$ . Der Potentialtopf approximiert das Coulomb-Potential am besten, wenn man $W 0$ so wählt, daß es die "mittlere Tiefe" des Coulomb-Potentials darstellt. Dazu berechnet man den Mittelwert $\overline {W}$ des Coulomb-Potentials über eine Kugel mit Radius $R$ .

$\overline{W} = {1 \over V} \int W(\vec x)d^3x$

Das Volumen(Kugel) ist: $V={4\pi \over 3} R^3$

$W(\vec x)$ ist: $W(\vec x) = - { e^2 \over 4\pi\varepsilon_0r}$

Setzt man ein: $\overline{W} = - {1 \over V} \cdot {e^2 \over 4\pi\varepsilon_0} \int\limits_{0}^{R} {1 \over r} \cdot 4 \pi r^2dr$

Integral auflösen: $\int\limits_{0}^{R} r dr = {1 \over 2} R^2$

$\overline{W} = - {1 \over V} \cdot {e^2 \over 4\pi\varepsilon_0} \cdot {4\pi \over V} \cdot {1 \over 2} R^2$

Dann $V={4\pi \over 3} R^3$ einsetzen:

$\overline{W} = - {1 \over V} \cdot {e^2 \over 4\pi\varepsilon_0} \cdot {4\pi \over {4\pi \over 3} R^3} \cdot {1 \over 2} R^2$

vereinfacht:

$\overline{W} = - {3 \over 2} \cdot {e^2 \over 4\pi\varepsilon_0R}={3 \over 2}E$

Diese Beziehung $W_0=\overline{W}={3 \over 2}E$ legt die Tiefe des Potentialtopfs fest (Die Lage unterhalb des Potentialtopfs)

Dreidimensionaler Potentialtopf

$W_0={3 \over 2}E$ $, \quad R = - { e^2 \over 4\pi\varepsilon_0E}$

zur Vereinfachung machen wir aus der Kugel einen Würfel mit der Kantenlänge 2R

$E={h^2 \over 8m(2R)^2}(n_x^2+n_y^2+n_z^2)+W_0$

$n x = n y = n z = n$

$E={h^2 \over 8m(2R)^2}3n^2+W_0$

Energiewert

Nun werde $W 0, R$ eingesetzt

$E = {3h^2 \over 32m} n^2 \cdot {(4\pi\varepsilon_0)^2E^2 \over e^4}+{3 \over 2} E$

Nach E auflösen

$E = - {8 \over 3\pi^2} \cdot {me^4 \over 8h^2\varepsilon_0^2}\cdot {1 \over n^2}$

Unendlicher hoher Potentialtopf

Eindimensionaler unendlich hoher Potentialtopf

$\lambda_n = \frac{2a}{n}$ mit n = 1,2,3,...

Wellenfunktion

$\Psi_n=\sin\left({2\pi \over \lambda_n}x\right)=\sin\left({n\pi \over a}x\right)$

Wahrscheinlichkeitsdichte:

$\mid\Psi_n\mid^2=\mathrm{sin}^2\left({n\pi \over a} x\right)$

Energie Bestimmung:

$W = W_\mathrm{kin} + W_\mathrm{pot} = W_\mathrm{kin} + 0 = \frac{p^2}{2m} = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$

Energieniveaus eines Elektrons im Potentialtopf:

$W_n = \frac{h^2}{8ma^2} \cdot n^2 =\dfrac{\pi^2\hbar^2}{2ma^2}\cdot n^2$

Dreidimensionaler unendlich hoher Potentialtopf

Wellenfunktion (nicht normiert)

$\Psi_{n_x,n_y,n_z}(x,y,z)=\sin\left({n_x\pi \over a}x\right)\cdot \sin\left({n_y\pi \over a}y\right) \cdot \sin\left({n_z\pi \over a}z\right)$

Energie

$W = {p_x^2 + p_y^2 + p_z^2 \over 2m}={h^2 \over 8ma^2}(n_x^2+n_y^2+n_z^2)$

Schrödinger-Gleichung

Schrödinger-Gleichung für ein freies Teilchen in einem Potentialtopf:

$-{\hbar^2 \over 2m} {d^2 \over dx^2}\Psi(x)=E\Psi(x)$

$\Psi(x)=A\cdot \sin (kx)$

$W={\hbar^2k^2 \over 2m}= {h^2 \over 2m\lambda^2}$

$\lambda_n = \frac{2a}{n}$

$W_n = \frac{h^2}{8ma^2}\cdot n^2$

Siehe auch

Harmonischer Oszillator (Quantenmechanik)
Lösung des harmonischen Oszillators, des Potentialkastens und des Wasserstoffatoms

Kategorie: Quantenphysik

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