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Quantenmechanische_Messung

Quantenmechanische Messung

No elementary phenomenon is a real phenomenon until it is a measured phenomenon. (John Archibald Wheeler)

In der Quantenmechanik ist jede Messung einer Observablen (beobachtbare/messbare Größe) eines Systems mit einer Veränderung des Systems verbunden. Sobald man eine Größe misst, legt dies den Zustand des Systems in Bezug auf diese Größe fest, auch wenn dieser vorher unbekannt war. Der Umstand, dass das System dadurch so verändert wird, dass es in Bezug auf andere Größen seine Festlegung verliert, führt zur Heisenberg'schen Unschärferelation.

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Beispiele

Als Beispiel kann man etwa die Polarisation von Licht betrachten. Ein Polarisator lässt nur eine bestimmte Polarisationsrichtung (Schwingungsrichtung) des Lichtes durch. Wenn nun unpolarisiertes Licht auf den Polarisator trifft, so wird nur ein Teil durchgelassen. Dieser ist genau der entsprechend zur Polarisatorachse linear polarisierte Teil. Indem man also die Polarisation des Lichtes untersucht hat, hat man diese gleichzeitig festgelegt; der Strahl nach dem Polarisator hat ja eine genau definierte Polarisation.

Ein weiteres Beispiel ist der Stern-Gerlach-Versuch, in dem ein Atomstrahl nach dem Gesamtspin aufgeteilt wird.

Formale Fassung

Observablen und Operatoren

In der Quantenmechanik wird allgemein jeder Observablen $\mathcal{A}$ (z.B. Energie, Impuls usw.) ein hermitescher Operator $\hat A$ zugeordnet. Beispiele hierfür sind:

Observable	Operator
Energie $E$	Hamilton-Operator $\hat H$
Impuls $\vec p$	Impulsoperator $\vec{\hat P}=-i\hbar\vec\nabla$
Ort $x$	Ortsoperator $\hat X=i\hbar\frac{d}{d\hat p}$

Eigenwertproblem und Kollaps der Wellenfunktion

Als mögliche Ergebnisse einer Messung der Observablen $\mathcal{A}$ sind in der Quantenmechanik nur die Eigenwerte des zugeordneten Operators möglich. Observable, Zustand und Messergebnis $a$ sind also über eine Eigenwertgleichung verknüpft:

$\hat A\left|a\right\rangle=a\cdot\left|a\right\rangle$

Bemerkung: Die Eigenwertgleichung des Hamilton-Operators, also die Energieeigenwertgleichung entspricht der zeitunabhängigen Schrödingergleichung.

Das oben beschriebene Phänomen, des Eingriffs ins System, wird in der Quantenmechanik formal in folgendes Axiom gefasst:

Axiom: Die Messung einer Observablen $\mathcal{A}$ , der der Operator $\hat A$ zugeordnet ist, ergebe den Eigenwert

a

Nach der Messung befindet sich das System im Eigenzustand $\left|a\right\rangle$ , der zu diesem Eigenwert gehört.

Misst man also eine Observable des Systems, so kann man aus dem Messergebnis direkt auf den Zustand des Systems nach der Messung schließen. Dies bedeutet aber auch, dass man keine Größe eines Quantenmechanischen Systems messen kann, ohne es zu zerstören. Dies nennt man auch Kollaps der Wellenfunktion.

Erwartungswert und Standardabweichung

Der Erwartungswert einer Observablen $\mathcal{A}$ bei der Messung am Zustand $\left|\psi\right\rangle$ ergibt sich nach folgender Formel:

$\langle\hat A\rangle_\psi=\frac{\left\langle\psi\right|\hat A\left|\psi\right\rangle}{\left\langle\psi\right|\left.\psi\right\rangle}$

Die Unsicherheit dieser Messung wird durch die Standardabweichung ausgedrückt:

$\Delta\hat A=\sqrt{\left\langle\left(\hat{A}-\langle\hat{A}\rangle\right)^2\right\rangle}=\sqrt{\langle\hat{A}^2\rangle-\langle\hat{A}\rangle^2}$

Siehe auch

Kategorie: Quantenphysik

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