Renormierung

Unter Renormierung einer Feldtheorie versteht man die Festlegung einer Energieskala, in Bezug auf die Theorie formuliert wird. Obwohl Renormierung auch bei klassischen Feldtheorien möglich (und sinnvoll) ist, ist sie speziell bei Quantenfeldtheorien unumgänglich, da ansonsten unendliche (divergente) Ausdrücke auftreten. Physikalisch kann als Ursache angesehen werden, dass jede Quantenfeldtheorie - bisher - eine effektive Theorie darstellt, die nur innerhalb eines gewissen Energiebereichs gültig ist. Dieser Energiebereich kann zwar sehr groß sein, ist aber auf jeden Fall endlich. Bei der mathematischen Ausarbeitung der Theorie tragen – methodenbedingt – auch Energien außerhalb des Gültigkeitsbereichs bei, die dann unsinnige (unendliche) Ergebnisse liefern. Der mathematische Grund dieser Divergenzen ist, dass die Feldoperatoren Distributionen sind, deren Multiplikation im Rahmen einer Reihenentwicklung im allgemeinen undefiniert ist.

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Es lässt sich allgemein zeigen, dass eine Quantenfeldheorie in vier Dimensionen nur dann renormierbar ist, wenn die Massendimension der Kopplungsterme im Lagrangian nicht größer als vier ist. Es ist interessant, dass das Standardmodell alle erlaubten Wechselwirkungsterme beinhaltet. Im Zuge der Renormierung der Theorie wird eine Energieskala eingeführt und Beiträge innerhalb und außerhalb dieser Skala getrennt; für diesen als Regularisierung bezeichneten Zwischenschritt gibt es technisch mehrere Möglichkeiten, die jedoch alle bezüglich der physikalischen Auswirkungen äquivalent sind. Wie sich herausstellt, lassen sich alle Effekte, die von Energien außerhalb der betrachteten Energieskala herrühren, pauschal durch die Redefinition der Parameter der Theorie, wie der Ruhemasse oder von Kopplungskonstanten, berücksichtigen. Zu diesen Konstanten treten Strahlungskorrekturen auf, die umso größer werden, je weiter die betrachtete Energie von der eingeführten Energieskala abweicht. Wenn eine endliche Anzahl von redefinierten Parametern ausreicht, bezeichnet man die Theorie als renormierbar.

In Summe, unter Berücksichtigung aller Korrekturen, ist die Wahl der Energieskala rein willkürlich; obwohl sich für jede Energieskala andere Parameter und andere Strahlungskorrekturen ergeben, sind die physikalischen Vorhersagen identisch. Die Theorie wurde nur auf einen Energiewert normiert, insofern erklärt sich die Bezeichnung Renormierung. In der praktischen Anwendung wählt man selbstverständlich die Energieskala, die dem betrachteten Bereich entspricht.

Man kann vermuten, dass willkürlich erscheinenden Konstanten, die nur messbar sind, sich im Rahmen einer übergeordneten Theorie (mit erweitertem Gültigkeitsbereich) berechnen bzw. ableiten lassen; in diese Richtung gehen viele Bemühungen der modernen theoretischen Physik.

Eine der wichtigsten neuen Erkenntnisse im Rahmen der Entwicklung der Renormierung war die, dass Naturkonstanten nicht unbedingt konstant sind, sondern nur in Bezug auf eine bestimmte Energieskala. So nimmt z.B. die Elementarladung bei hohen Energien zu. Umgekehrt nimmt die starke Kraft bei hohen Energien ab, was auch als asymptotische Freiheit bezeichnet wird.

Die Eichinvarianz einer Quantenfeldtheorie und die dazugehörigen Ward-Identitäten können dazu führen, dass verschiedene Renormierungskonstanten gleich sind. Das führt dazu, dass bestimmte auftretende Divergenzen sich gegenseitig aufheben.