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Renormierungsgruppe

Renormierungsgruppe

Die Renormierungsgruppe (RG) bezeichnet ursprünglich in der Quantenfeldtheorie ein Konzept, mit dem man für bestimmte physikalische Grössen Aussagen über deren Abhängigkeit von der Energieskala machen kann. Mit der RG im Zusammenhang stehen die Betafunktion und die Callan-Symanzik-Gleichungen. Heutzutage erstreckt sich der Anwendungsbereich jedoch auch auf die Festkörperphysik, Kontinuumsmechanik, Kosmologie und Nanotechnologie.

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Inhaltsverzeichnis

1 Kadanoff´s Blockspin-Bild
2 Elemente der RG-Theorie
3 Relevante und irrelevante Operatoren, Universalitätsklassen
4 Impulsraum-RG
5 Geschichte der RG
6 Literatur

Kadanoff´s Blockspin-Bild

Das Blockspin Modell von Leo Kadanoff (1966) liefert den pädagogisch einfachsten Zugang zur RG. Dazu betrachtet man ein zweidimensionales Gitter von Spin -Freiheitsgraden (das kann aber auch ein Modell für Gitter von Atomen mit ganz anderen Freiheitsgraden als Drehimpulsen sein) vom Typ des Isingmodells, das heißt es wechselwirken nur unmittelbar benachbarte Spins miteinander mit einer Kopplungsstärke $\, J$ . Das System werde durch eine Hamiltonfunktion $\, H(T,J)$ beschrieben und habe die mittlere Temperatur $\, T$ .

Nun wird das Spin-Gitter in Blöcke von $2\times 2$ - Quadraten aufgeteilt und es werden neue Blockvariable eingeführt, indem über die Zustandswerte im Block gemittelt wird. Häufig hat die neue Hamiltonfunktion die gleiche Struktur wie die alte, nur mit neuen Werten für $\,T$ und $\,J$ : $\,H(T',J')$ .

Dieser Vorgang wird nun wiederholt, das heißt man fasst wieder $2\times 2$ der neuen Spin-Blockvariablen durch Mittelung zusammen (das wären dann jeweils 4 Spins oder 16 Spins aus dem Ausgangsmodell) usw. Das System wird also auf einer ständig vergröberten Skala betrachtet. Ändern sich dabei die Parameter unter RG Transformationen nicht mehr wesentlich, spricht man von einem Fixpunkt der RG.

Im konkreten Fall des Isingmodells, ursprünglich als Modell für magnetische Systeme eingeführt (mit einer Wechselwirkung, die bei parallen Spins einen $- \,J$ zur Energie H liefert, bei anti-parallelen Spins einen positiven Beitrag $\, J$ ), wirkt die durch die Temperatur $\, T$ gekennzeichnete Wärmebewegung den Ordnungsbestrebungen der Wechselwirkung (durch $\, J$ charakterisiert) entgegen. Hier (und häufig auch in ähnlichen Modellen) gibt es drei Arten von Fixpunkten der RG:

(a) $\,T=0$ und $\,J\to\infty$ . Auf großen Skalen überwiegt die Ordnung, ferromagnetische Phase.

(b) $\,T\to\infty$ und $\,J\to 0$ . Unordnung auf großen Skalen.

(c) Ein Punkt dazwischen mit $\,T = T_c$ and $\,J = J_c$ , bei dem eine Skalenänderung die Physik des Systems nicht verändert (Skaleninvarianz wie in fraktalen Strukturen), der Punkt ist ein Fixpunkt der RG. An diesem sogenannten kritischen Punkt findet ein Phasenübergang zwischen den beiden Phasen (a), (b) statt. Im Fall des Ferromagnetismus wird er Curie-Punkt genannt.

Elemente der RG-Theorie

Allgemein sei das System durch eine Funktion $\, Z$ der Zustandsvariablen $\, \{s_i\}$ mit die Wechselwirkung beschreibenden Kopplungskonstanten $\, \{J_k\}$ beschrieben. Je nach Anwendungsbereich kann das eine Verteilungsfunktion (statistische Mechanik), eine Wirkung, eine Hamiltonfunktion u.a. sein, sollte aber die Physik des Systems vollständig beschreiben.

Nun betrachten wir Block-Transformationen der Zustandsvariablen $\{s_i\}\to \{\tilde s_i\}$ , wobei die Anzahl der $\tilde s_i$ kleiner als die der $s i$ ist. Man versucht nun $\, Z$ allein als Funktion der neuen Zustandsvariablen $\tilde s_i$ zu schreiben. Ist dies allein durch eine Änderung der Parameter der Theorie $\{J_k\}\to \{\tilde J_k\}$ möglich, spricht man von einer renormierbaren Theorie.

Die meisten grundlegenden Theorien der Elementarteilchenphysik, wie Quantenelektrodynamik, Quantenchromodynamik, die elektroschwache Wechselwirkung, sind renormierbar (die Gravitation allerdings nicht). Auch in der Festkörperphysik und Kontinuumsphysik sind viele Theorien (näherungsweise) renormierbar (z. B. Supraleitung, Theorie der Turbulenz von Flüssigkeiten).

Die Änderung der Parameter erfolgt durch eine sogenannte Betafunktion: $\{\tilde J_k\}=\beta(\{ J_k \})$ , die einen Fluss der RG (RG flow) im $J$ -Raum erzeugt. Die Veränderung von $J$ unter diesem Fluss wird mit dem Begriff gleitende Kopplungskonstante (running coupling constant) beschrieben. Wie schon gesagt ist man vor allem an den Fixpunkten des RG-Flusses interessiert, da diese Phasenübergänge zwischen den makroskopischen Phasen des Systems beschreiben.

Da bei den RG Transformationen ständig Information verlorengeht, haben sie im Allgemeinen keine Inverse und bilden somit eigentlich auch keine Gruppen im mathematischen Sinn (sondern nur Halbgruppen). Der Name hat sich aber eingebürgert.

Relevante und irrelevante Operatoren, Universalitätsklassen

Man betrachte das Verhalten der Observablen $A$ (in der Quantenmechanik durch Operatoren gegeben) unter einer RG Transformation. Falls A bei Übergang zu größeren Skalen stets zunimmt spricht man von relevanten Observablen, falls A stets abnimmt von irrelevanten und falls keins von beidem zutrifft von marginal. Für das makroskopische Verhalten sind nur relevante Operatoren wichtig und in der praxis stellt sich heraus, dass in typischen Systemen die meisten Observablen irrelevant sind und nur ein paar relevante übrigbleiben (während auf mikroskopischer Basis typischerweise die Zahl der Observablen von der Größenordnung der Zahl der Moleküle in einem Mol $\approx 10^{23}$ ist).

Dies erklärt auch die erstaunliche Ähnlichkeit der kritischen Exponenten in den verschiedensten Systemen mit Phasenübergängen zweiter Ordnung, ob es sich nun um magnetische Systeme, Supraflüssigkeiten oder Legierungen handelt. Werden die Systeme durch die gleiche Anzahl und die gleichen Typen (bezüglich des Skalierungsverhaltens) relevanter Observabler beschrieben, gehören sie zur selben Klasse. Die Begründung der Unterteilung des Phasenübergangsverhaltens in Universalitätsklassen war einer der Haupterfolge der RG.

Impulsraum-RG

In der praktischen Anwendung gibt es zwei Typen von RG: die RG im Ortsraum (Real Space RG), wie sie oben in Kadanoffs Blockspin-Bild diskutiert wurde, und die Impulsraum- RG, bei der das System in verschiedenen Wellenlängen bzw. Frequenzskalen betrachtet wird. Dabei wird meist eine Art Integration über die Moden hoher Frequenz (bzw. kurzer Wellenlängen) durchgeführt. In dieser Form wurde die RG ursprünglich in der Teilchenphysik angewandt. Da man meist von einer Störungstheorie um das System freier Teilchen ausgeht, funktioniert dies für stark korrelierte Systeme meist nicht mehr.

Ein Beispiel für die Anwendung der Impulsraum-RG ist die klassische Renormierung der Masse und Ladung der freien Teilchen in der QED. Eine nackte positive Ladung ist in dieser Theorie von einer Wolke von ständig aus dem Vakuum erzeugten und gleich wieder vernichteten Elektron-Positron Paaren umgeben. Da die Positronen von der Ladung abgestoßen, die Elektronen angezogen werden, wird die Ladung im Endeffekt abgeschirmt, und die Größe der beobachteten Ladung hängt davon ab, wie nah man ihr kommt (gleitende Kopplungskonstante) bzw. (im fouriertransformierten Bild) auf welcher Impulsskala man sich bewegt.

Geschichte der RG

Skalierungsüberlegungen gibt es in der Physik schon seit dem Altertum und an prominenter Stelle z.B. bei Galilei. Die RG tauchte zum ersten Mal 1953 in der Behandlung der Renormierung in der Quantenelektrodynamik durch E. C. G. Stueckelberg und A. Peterman sowie 1954 durch Murray Gell-Mann und Francis Low auf. Die Theorie wurde von den russischen Physikern N. N. Bogoljubow und D. V. Shirkov ausgebaut, die 1959 darüber ein Lehrbuch schrieben.

Ein wirkliches physikalisches Verständnis wurde jedoch erst durch die Arbeiten von Leo Kadanoff 1966 erreicht (Blockspin-Trafo), die dann vom Nobelpreisträger (1982) Kenneth Wilson erfolgreich 1974 zur Lösung des Kondo-Problems benutzt wurden. Er erhielt unter anderem dafür 1982 den Nobelpreis. Auch die alte RG der Teilchenphysik wurde um 1970 von Curtis G. Callan und Kurt Symanzik neu formuliert. Wie schon gesagt wurde in der Teilchenphysik hauptsächlich die Impulsraum-RG verwendet und ausgebaut. Sie fand auch weite Verwendung in der Festkörperphysik, war aber bei stark korrelierten Systemen nicht anwendbar. Hier war man ab den 1980er Jahren mit Ortsraum-RG-Verfahren erfolgreicher, wie der von S.R.White und R.M.Noack 1992 entwickelten Dichtematrix-RG (density matrix RG, DMRG).

Literatur

Historische wissenschaftliche Artikel

E. C. G. Stueckelberg und A. Peterman: La renormalisation des constants dans la theorie de quanta. In: Helvetica physica acta. Band 26, 1953 S. 499.
M. Gell-Mann und F. E. Low: Quantum Electrodynamics at small distances. In: Physical Review. Band 95, 1954, S. 1300. (Einführung des Konzepts durch Stueckelberg/Peterman und Gell-Mann/Low)
N. N. Bogoliubov und D. V. Shirkov: The theory of quantized fields. Interscience, 1959. (erste Lehrbuch Behandlung)
L. P. Kadanoff: Scaling laws for Ising models near $T c$ . In: Physics (Long Island City, N.Y.) Band 2, 1966, S. 263. (das Bild der Block-Spin Transformationen)
C. G. Callan: Broken scale invariance in scalar field theory. In: Physical Review D. Band 2, 1970, S. 1541. [1]
K. Symanzik: Small distance behaviour in field theory and power counting. In: Communications in Mathematical Physics. Band 18, 1970, S. 227. [2] (mit der Arbeit von Callan Einführung RG im Impulsraum)
K. G. Wilson: The renormalization group. Critical phenomena and the Kondo problem. In: Reviews of modern physics. Band 47, Nr. 4, 1975, S. 773. [3] (früher Erfolg der neuen Methode)
S. R. White: Density matrix formulation for quantum renormalization groups. In: Physical Review Letters. Band 69, 1992, S. 2863. (erfolgreichste RG Variationsmethode)

Übersichtsartikel

K. Wilson: Die Renormierungsgruppe. In: Spektrum der Wissenschaft. Oktober 1979
Fisher: RG theory: its basis and formulation in statistical physics. In: Reviews of Modern Physics 1998
D. V. Shirkov: Evolution of the Bogoliubov Renormalization Group. A mathematical introduction and historical overview with a stress on group theory and the application in high-energy physics. 1999, online hier: arXiv.org:hep-th/9909024
B. Delamotte: A hint of renormalization. A pedestrian introduction to renormalization and the renormalization group. In: American Journal of Physics. Band 72, 2004, S. 170
H. J. Maris, L. P. Kadanoff: Teaching the renormalization group. A pedestrian introduction to the renormalization group as applied in condensed matter physics. In: American Journal of Physics. Band 46, Juni 1978, S. 652-657.
Kadanoff: Application of RG techniques to quarks and strings. In: Reviews of Modern Physics. 1977, S. 267-296
U. Schollwöck: The density-matrix renormalization group. In: Reviews of modern physics. Band 77, 2005, S. 259

Bücher

Amit: Field theory, the RG and critical phenomena, World Scientific 1984
Ma: Modern theory of critical phenomena, Addison-Wesley, Frontiers in Physics 1982
N. Goldenfeld: Lectures on phase transitions and the renormalization group. Addison-Wesley, 1993.
L. Ts. Adzhemyan, N. V. Antonov und A. N. Vasiliev: The Field Theoretic Renormalization Group in Fully Developed Turbulence. Gordon and Breach, 1999. ISBN 90-5699-145-0
Zinn-Justin: Quantum Field Theory and Critical phenomena. Oxford 1990
Zinn Justin: Renormalization and renormalization group. From the discovery of UV divergences to the concept of effective field theories. In: C. de Witt-Morette, J.-B. Zuber (Hrsg.): Proceedings of the NATO ASI on Quantum Field Theory: Perspective and Prospective, June 15-26 1998, Les Houches, France, Kluwer Academic Publishers, NATO ASI Series C 530, S. 375-388 (1999). Online hier: PostScript.

Kategorie: Quantenphysik

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