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Separabilität (Quantenmechanik)In der Quantenmechanik bezeichnet man den Zustand eines zusammengesetzten Systems als separabel wenn er nicht verschränkt ist, das heißt, wenn er sich als Gemisch aus Produktzuständen schreiben lässt.
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Separabilität für reine ZuständeDer Einfachheit halber werden im folgenden alle Räume als endlichdimensional angenommen. Zunächst betrachten wir reine Zustände. Separabilität ist eine Eigenschaft zusammengesetzter Quantensysteme, das heißt im einfachsten ("bipartiten") Fall, eines aus den Teilsystemen "1" und "2" bestehenden Gesamtsystems "12". Die quantenmechanischen Zustandsräume der Teilsysteme seien die Hilberträume H1 und H2 mit den jeweiligen orthonormalen Basisvektoren und . Der Hilbertraum des zusammengesetzen Systems ist dann das Tensorprodukt mit der Basis , oder in kompakterer Notation . Jeder Vektor in H12 (d.h., jeder reine Zustand des Systems "12") lässt sich schreiben als . Wenn sich ein reiner Zustand in der Form schreiben lässt (wobei ein reiner Zustand des Teilsystems i ist), heißt er separabel oder Produktzustand. Andernfalls nennt man den Zustand verschränkt. Standardbeispiele für einen separablen und einen verschränkten Zustandsvektor in sind
Man sieht,
Beides ist in einem verschränkten Zustand nicht möglich. Passend verallgemeinert lässt sich diese Unterscheidung auch auf den Fall gemischter Zustände übertragen. Die vorangehende Diskussion lässt sich ohne wesentliche Änderungen auf den Fall unendlichdimensionaler Systeme verallgemeinern. Separabilität für gemischte ZuständeNun betrachten wir den Fall gemischter Zustände. Ein gemischter Zustand des zusammengesetzten Quantensystems "12" wird durch eine Dichtematrix ρ beschrieben, die auf dem Hilbertraum wirkt. ρ ist separabel wenn es und Zustände auf H1 und auf H2 gibt (die jeweils gemischte Zustände der Teilsysteme beschreiben), so dass wobei
Andernfalls heißt ρ verschränkt. Die physikalische Bedeutung dieser mathematischen Definition ist, dass sich ein separabler Zustand als Gemisch von Produktzuständen auffassen lässt.
Es ist nach der obigen Definition klar das die separablen Zustände eine konvexe Menge bilden. Wenn die Zustandsräume unendlichdimensional sind, werden Dichtematrizen durch positive Spurklasseoperatoren mit Spur 1 ersetzt. Ein Zustand heißt dann separabel, wenn er (in der Spurnorm) durch Zustände der obigen Form approximiert werden kann. Separabilität für Vielparteien-SystemeDie vorangehende Diskussion lässt sich leicht für aus vielen Teilsystemen bestehende Quantensysteme verallgemeinern. Wenn das System aus n Teilsystemen mit System-Hilbertraum Hi,i = 1,...,n besteht, dann ist ein reiner Zustand auf genau dann separabel (genauer: vollständig separabel), wenn er von der Form ist. Analog ist ein gemischter Zustand ρ auf H1..n separabel, wenn er sich als konvexe Summe von Produktzuständen schreiben lässt:
SeparabilitätskriterienEin reiner Zustand ρ12 auf ist genau dann separabel, wenn die Entropie der reduzierten Zustände verschwindet, das heißt, wenn S(ρ1) = 0 oder S(ρ2) = 0 ist (beide Gleichungen sind über die Schmidt-Zerlegung) äquivalent. Die Frage, ob ein gegebener gemischter Zustand ρ separabel ist (Separabilitätsproblem), ist im allgemeinen schwer zu beantworten (NP-hart [1]). Die Unterscheidung von separablen und verschränkten Zuständen ist in der Quanteninformationstheorie von großem Interesse, da nur verschränkte Zustände Quantenkorrelationen aufweisen und eine wichtige Ressource darstellen, die Verfahren wie Quantenteleportation ermöglicht. Ein Separabilitätskriterium ist eine (leicht überprüfbare) Bedingung, die jeder separable Zustand erfüllt (notwendige Bedingung für Separabilität). Die Verletzung einer solchen Bedingung ist dann hinreichend für den Nachweis von Verschränkung. Beispiele für solche Kriterien sind die Erfüllung der Bellschen Ungleichung oder das Peres-Horodecki-Kriterium, das besagt, dass die Dichtematrix eines separablen Zustands unter partieller Transposition positiv bleibt. Allgemeiner lässt sich formulieren, dass die Dichtematrix eines separablen Zustands unter Anwendung jeder positiven Abbildung T in einem der Teilsysteme positiv bleiben muss:
Im allgemeinen (d.h. für nicht notwendig separable Zustände) gilt dies nur für vollständig positive Abbildungen T. Die Gültigkeit der obigen Ungleichung für alle positiven Abbildungen T ist notwendig und hinreichend für Separabilität. [2] Andere Separabilitätskriterien ergeben sich aus den sogenannten Verschränktheitszeugen (entanglement witnesses) oder aus Verschränktheitsmaßen. Literatur
Siehe auchKategorien: Quantenphysik | Quanteninformatik |
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Dieser Artikel basiert auf dem Artikel Separabilität_(Quantenmechanik) aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation. In der Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar. |