Skaleninvarianz

Skaleninvarianz ist ein Begriff aus der Mathematik, der Kernphysik und der Statistischen Physik bzw. Statistischen Mechanik.

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Skaleninvarianz oder auch "Skalenunabhängigkeit" beschreibt die Eigenschaft eines Zustands, Vorgangs, Verhältnisses oder einer Situation bei dem/der auch bei Veränderung der Betrachtungsgrößen (Skalierung) die Eigenart oder Charakteristik inklusive seiner Eckwerte weitestgehend exakt gleich bleibt sodass ein Zustand der Universalität gegeben ist.

Mathematik

Eine von der Variablen x abhängige Funktion f(x) heißt skaleninvariant, wenn die wesentlichen Eigenschaften der Funktion sich unter einer Reskalierung nicht ändern. In der Regel versteht man darunter, dass sich f nur um einen Faktor (der von a abhängen kann) ändert:

f(ax) = C(a)f(x).

Das bedeutet beispielsweise, dass wichtige Eigenschaften der Funktion wie Nullstellen, Extrema, Wendepunkte oder Pole nicht davon abhängen, welche Skala man verwendet. Beispiele skaleninvarianter Funktionen sind die Monome x^p.

Die Verallgemeinerung für Funktionen mehrerer Variablen ist offensichtlich: f(x₁,x₂,...,x_n) heißt skaleninvariant, wenn f(ax₁,ax₂,...,ax_n) = C(a)f(x₁,x₂,...,x_n). Beispiele sind homogene Polynome, p-Normen, Mahalanobis-Distanz oder der Korrelationskoeffizient.

Auch Netze, deren Verlinkungsgrad keiner Skala folgt, bezeichnet man als skaleninvariantes oder Skalenfreies Netz.

Siehe auch: Fraktal, Skalengesetz

Kernphysik

Die räumliche Ausdehnung von Quarks in Nukleonen wird durch die sogenannte Strukturfunktion beschrieben. Aus der Invarianz dieser Strukturfunktion gegenüber dem 4er-Impulsübertrag wird postuliert, dass die Quarks als Bausteine der Nukleonen keine räumliche Ausdehnung haben, also punktförmig sind.

Siehe auch: Skalenbrechung, Wirkungsquerschnitt, Rutherford-Streuung

Statistische Physik bzw. Statistische Mechanik

Systeme mit Phasenübergängen zweiter Art, d. h. Übergänge mit kontinuierlichem Verlauf des Ordnungsparameters, zeigen am kritischen Punkt ein skaleninvariantes Verhalten der Eigenschaft, die durch den Ordnungsparameter beschrieben wird. Ein Beispiel ist der Übergang vom unmagnetischen (paramagnetischen) Verhalten zum ferromagnetischen Verhalten eines durch das Ising-Modell beschreibbaren Materials bei einer kritischen Temperatur. Bei genau dieser Temperatur ist die Verteilung von einheitlich magnetisierten Bereichen (Spin-Clustern) räumlich skaleninvariant, d. h. es gibt Cluster auf allen Größenskalen. Der Ordnungsparameter, in diesem Beispiel die Magnetisierung, ist bei der kritischen Temperatur noch Null, da es Cluster unterschiedlicher Magnetisierungsrichtungen gibt. Anschaulich: Unabhängig davon, wie nah man an das System herangeht, d. h. wie stark man es vergrößert, wird man immer das gleiche (magnetische) Bild sehen (siehe auch Fraktale).