Statistische Mechanik

Die Statistische Mechanik war ursprünglich ein Anwendungsgebiet der Mechanik. Heutzutage wird der Begriff oft synonym zu Statistische Physik gebraucht und steht somit für die (theoretische und experimentelle) Analyse zahlreicher, fundamentaler Eigenschaften von Systemen vieler Teilchen (Atome, Moleküle, usw.). Unter anderem liefert die Statistische Mechanik eine mikroskopische Fundierung der Thermodynamik. Sie ist daher von großer Bedeutung für die Chemie, insbesondere für die Physikalische Chemie, in der man auch von Statistischer Thermodynamik spricht.

Darüber hinaus beschreibt sie eine Vielzahl weiterer thermischer Gleichgewichts- und Nichtgleichgewichtseigenschaften, die mit Hilfe moderner Messmethoden (z. B. Streuexperimente) untersucht werden.

In der (ursprünglichen) Statistischen Mechanik wird der Zustand eines physikalischen Systems nicht mehr durch die genauen „Trajektorien“, d. h. durch den genauen zeitlichen Verlauf von Ort und Impuls, der einzelnen Teilchen, bzw. deren reinen quantenmechanischen Zustand charakterisiert, sondern durch die Wahrscheinlichkeit, derartige mikroskopische Zustände vorzufinden.

Die Statistische Mechanik ist vor allem durch Arbeiten von James Clerk Maxwell, Ludwig Boltzmann und Josiah Willard Gibbs entstanden, wobei letzterer den Begriff prägte. Im Folgenden sollen einige Begriffe aus der Statistischen Physik erläutert werden, die insbesondere bei der Analyse von Eigenschaften des thermischen Gleichgewichts eine wichtige Rolle spielen.

Historisch von zentraler Bedeutung ist die Boltzmannsche Entropieformel (die auch auf dem Grabstein von Ludwig Boltzmann eingraviert ist):

Hier bezeichnet S die (statistische) Entropie eines abgeschlossenen Systems, d.h. eines mikrokanonischen Ensembles. Die Größe Ω gibt die Zahl der Mikrozustände an (z. B. Orte und Impulse aller Teilchen in einem Gas), die mit den thermodynamischen Zustandsgrößen Energie, Volumen und Teilchenzahl verträglich sind (Boltzmann bezeichnete diese Größe als „Komplexionzahl“ = statistisches Gewicht (manchmal auch W) des makroskopischen Zustands). Die Konstante k_B wird als Boltzmannkonstante bezeichnet und hat die Einheit der Entropie [ Joule/Kelvin ].

Es wird also berücksichtigt, dass nicht ein einzelner mikroskopischer Zustand, sondern vielmehr alle möglichen Zustände das makroskopische Verhalten eines physikalischen Systems bestimmen. Statistische Ensembles spielen in der Statistischen Physik eine entscheidende Rolle; man unterscheidet zwischen dem mikrokanonischen, dem kanonischen und dem großkanonischen Ensemble.

Ein klassisches und einfaches Beispiel für die Anwendung der Statistischen Mechanik ist die Herleitung der Zustandsgleichung des idealen Gases und auch des van-der-Waals-Gases.

Sind Quanteneigenschaften (Ununterscheidbarkeit der Teilchen) wesentlich, z. B. bei tiefen Temperaturen, können besondere Phänomene auftreten und von der Statistischen Physik vorhergesagt werden. Für Systeme mit ganzzahligem Spin (Bosonen) gilt die Bose-Einstein-Statistik. Unterhalb einer kritischen Temperatur und bei hinreichend schwachen Wechselwirkungen zwischen den Teilchen tritt ein besonderer Effekt auf, bei dem eine Vielzahl von Teilchen den Zustand niedrigster Energie einnehmen: Es gibt eine Bosekondensation.

Systeme mit halbzahligem Spin (Fermionen) gehorchen der Fermi-Dirac-Statistik. Wegen des Pauli-Prinzips werden auch Zustände höherer Energie angenommen. Es gibt eine charakteristische obere „Energiekante“, die Fermienergie. Sie bestimmt u. a. zahlreiche thermische Eigenschaften von Metallen und Halbleitern.

Die Konzepte der Statistischen Mechanik lassen sich nicht nur auf Ort und Impuls der Teilchen sondern auch auf andere, z.  B. magnetische Eigenschaften anwenden. Hierbei ist die Modellbildung von großer Bedeutung; z. B. sei auf das ausführlich untersuchte Ising-Modell hingewiesen.

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Literatur

Allgemeine Lehrbücher

• Physikalische Chemie#Literatur

Spezielle Werke

• D. Chandler: Introduction to Modern Statistical Mechanics, 1. Aufl., Oxford University Press, 1987, ISBN 0195042778.
• R. Hentschke: Statistische Mechanik, 1. Aufl., Wiley-VCH, 2004, ISBN 3527404503.

Einführungen in philosophische Themenfelder

• L. Sklar: Physics and Chance: Philosophical Issues in the Foundations of Statistical Mechanics, Cambridge: CUP 1993
• D. Albert: Time and Chance, Cambridge, MA: Harvard University Press 2000
• P. Ehrenfest / T. Ehrenfest: The Conceptual Foundations of the Statistical Approach in Mechanics, Ithaca, NY: Cornell University Press 1959
• Gibbs, J.: Elementary Principles in Statistical Mechanics, New York: Dover 1960

Siehe auch

• Kinetische Gastheorie