Symmetriegruppe

In der mathematischen Gruppentheorie ist die Symmetriegruppe eines geometrischen Objektes die Gruppe, die aus der Menge aller Kongruenzabbildungen besteht, die das Objekt auf sich selbst abbilden, zusammen mit der Verkettung von Abbildungen als Gruppenoperation.

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Begriffsklärung

Diese Begriffe beschreiben mögliche Eigenschaften eines Objektes. Um zu erkennen, welcher Symmetriegruppe das Objekt angehört, muss festgestellt werden, welche dieser Eigenschaften zutreffen.

Diskretheit

Eine Symmetriegruppe weist intuitiv gesehen dann eine diskrete Topologie auf, wenn es so etwas wie „kleinste Schritte“ gibt. Beispielsweise ist eine Gruppe von Drehungen um einen Punkt genau dann diskret, wenn alle möglichen Drehwinkel Vielfache eines kleinsten Winkels sind. Sind hingegen auch beliebig kleine Drehwinkel in der Gruppe enthalten, so ist diese Gruppe nicht diskret.

Allgemein hat jede Gruppe mit endlich vielen Elementen eine diskrete Topologie. Eine diskrete Gruppe lässt sich aus endlich vielen Symmetrieoperationen durch Komposition erzeugen. Der Umkehrschluss gilt jeweils nicht.

Praktisch gesehen ist eine Symmetriegruppe genau dann diskret, wenn es eine untere Schranke gibt sowohl für die Längen aller (von Null verschiedenen) Verschiebungen als auch für die Drehwinkel aller Drehsymmetrien.

Periodizität

Man betrachtet die Menge aller in der Gruppe enthaltenen (von Null verschiedenen) Verschiebungen (Translationen) und bestimmt, wie viele dieser Vektoren linear unabhängig voneinander sind. Formal gesprochen bestimmt man die Dimension des Spanns dieser Verschiebungsvektoren.

Enthält die Gruppe überhaupt keine Verschiebungen, so gibt es mindestens einen Punkt, der Fixpunkt aller Abbildungen ist. Man spricht in diesem Fall von einer Punktgruppe. Punktgruppen sind genau dann endlich, wenn sie diskret sind.

Sobald die Gruppe mindestens eine Verschiebung enthält, enthält sie zumindest in euklidischer Geometrie automatisch unendlich viele Elemente.

Entspricht die Zahl der linear unabhängigen Verschiebungsvektoren der Dimension des Raumes, in den das Objekt eingebettet ist, so gibt es einen beschränkten Teil des Objekts (eine Zelle), deren Bilder den gesamten Raum ausfüllen. Ist die Gruppe zusätzlich auch noch diskret, so spricht man von einer Raumgruppe und nennt das Muster periodisch. In diesem Fall gibt es einen beschränkten Fundamentalbereich von gleicher Dimension wie der Raum, also beispielsweise in der Ebene mit einer von Null verschiedenen Fläche.

Zweidimensionale euklidische Geometrie

Die Symmetriegruppen in der euklidischen Ebene lassen sich wie folgt klassifizieren:

• Diskret
  • Ohne Verschiebungen
    • Ohne Achsenspiegelungen

      Familie der endlichen zyklischen Gruppen C_n (für ), das sind alle Drehungen um einen Punkt um Vielfache von

      C₁: Symmetriegruppe eines komplett unsymmetrischen Objektes, mit der Identität als einzigem Element

      C₂: Symmetriegruppe einer Punktspiegelung

      C₃: Symmetriegruppe einer Triskele

      C₄: Symmetriegruppe eines Swastika

    • Mit Achsenspiegelungen

      Familie der Diedergruppen D_n (für ), das sind Drehungen wie C_n zusammen mit n Spiegelachsen durch den Mittelpunkt

      D₁: Einzelne Achsenspiegelung

      D₂: Symmetriegruppe eines nicht quadratischen Rechtecks

      D_n: Symmetriegruppe eines regelmäßigen n-Ecks

  • Mit Verschiebungen, die alle kollinear sind (Span der Translationen hat Rang 1)

    7 Friesgruppen

  • Mit mindestens zwei linear unabhängigen Verschiebungen

    17 ebene kristallographische Gruppen

• Nicht diskret
  • Ohne Verschiebungen

    Orthogonale Gruppe O(2), das sind alle Symmetrien eines Kreises, also alle Drehungen und alle Spiegelungen an Achsen, die durch den Mittelpunkt gehen

  • Mit Verschiebungen

    Dieser Fall muss noch weiter aufgeschlüsselt werden.

Andere Dimensionen

• Dreidimensionale Punktgruppen werden in einem eigenen Artikel ausführlich klassifiziert.
• Der Artikel über kristallografische Raumgruppen geht auch auf verschiedene Dimensionen ein.

Siehe auch

• Symmetrie (Geometrie)
• Symmetrische Gruppe aller Permutationen mit n Elementen
• Kristallographie
• Symmetrieoperation