Symmetrieoperation

Eine Symmetrieoperation bildet einen Punkt auf einen anderen ab.

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Die vier Symmetrieoperationen

• Identität E oder I
• Spiegelung σ
• Drehung um eine n-zählige Achse C_n (Drehung um 2π / n)
• Inversion i
• Drehspiegelung S_n

Symmetrieelemente

Die Symmetrieoperationen beziehen sich immer auf ein Symmetrieelement im Raum. Mögliche Symmetrieelemente:

• Spiegelachse
• Drehachse
• Inversions-Punkt
• Drehspiegelachse

Punktgruppen

Hat ein Objekt bestimmte Symmetrieelemente, die alle seine Punkte auf einander abbilden, so dass ein System mit den gleichen Eigenschaften entsteht, kann man das Objekt einer Punktgruppe zuordnen.

Darstellungs-Theorie der Symmetrieoperationen

Die Symmetrieoperation einer Punktgruppe bilden eine Gruppe bzgl. ihrer Hintereinanderausführung. Führt man sie hintereinander aus bildet sich z.B. wieder ein Element der Gruppe. Die Anzahl der Symmetrieelemente ist die Ordnung der Gruppe. Eine Gruppe lässt sich ein Klassen einteilen. Zu einer Klasse gehören z.B. immer die Elemente die eine Drehung vervorrufen, die eine Spiegelung hervorrufen, usw.

Darstellung als Matrizen

Die Symmetrieoperationen lassen sich als Matrizen schreiben. Werden diese mit einem Vektor multipliziert ergibt sich der abgebildete Vektor im Raum. Es lässt sich einfach zeigen, dass diese Matrizen aufeinander angewandt wieder eine Matrix aus einer Gruppe ergeben. Die Matrizen sind dann isomorph zu einer Punktgruppe von Symmetrieoperationen.

Anwendung in der Chemie

Die Chemie beschäftigt sich mit Molekülen. Die Koordinaten der Atome der Moleküle in ihrer Gleichgewichtskonformation lassen sich mit Hilfe von Symmetrieoperationen auf sich selbst abbilden, wodurch ein physikalisch gleichwertiger Zustand entsteht, der die selbe Energie hat, man spricht dann von Entartung. Man kann zeigen, dass diese Theorie auch auf Wellenfunktionen und Potentiale in der Quantenmechanik anwendbar ist. So weist z.B. der Hamilton-Operator die gleichen Symmetrieoperationen auf wie das zugrunde liegende System.

Siehe auch

• Gruppentheorie (Anwendung in der Chemie/Physik)
• Charaktertafel