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Transversale_Isotropie

Transversale Isotropie

Die transversale Isotropie ist ein Sonderfall der Anisotropie. Die transversale Isotropie bezeichnet Werkstoffe, die eine bestimmte Vorzugsrichtung haben Elastizitätseigenschaften. Kennzeichnend ist, dass diese Werkstoffe keine Kopplungen zwischen Dehnungen und Schubverzerrungen besitzen. Zusätzlich können diese Werkstoffe um ihre Vorzugsrichtung gedreht werden, ohne dass sich ihre Elastizitätseigenschaften ändern. Im Gegensatz zu den orthotropen Werkstoffen gibt es eine Ebene, in der die Elastizitätseigenschaften Richtungsunabhängig sind.

Da es sich um ein richtungsabhängiges Verhalten handelt, ist die transversale Isotropie immer auf ein bestimmtes Koordinatensystem bezogen. Die Ebene, in der die Eigenschaften richtungsunabhängig sind, nennt man isotrope Ebene. Im Bild ist die 2-3-Ebene die isotrope Ebene.

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Inhaltsverzeichnis

1 Bildhaftes Erklärungsmodell
- 1.1 Beispiele
2 Bedeutung in der Konstruktion
3 Mathematische Formulierung
4 Literatur

Bildhaftes Erklärungsmodell

Ein transversal isotroper Werkstoff kann um eine Achse gedreht werden, ohne dass sich seine Eigenschaften ändern. Es treten bei der Drehung weder Kopplungen auf, noch ändern sich die Module. Der Werkstoff ist in einer Ebene richtungsunabhängig, das heißt isotrop. Diese isotrope Ebene ist im Bild die 2-3-Ebene. Der Werkstoff ist rotationssymmetrisch zur 1-Achse, die auf der isotropen Ebene steht.

Die transversal isotropen Eigenschaften werden deutlich, wenn man sich nicht ein Werkstoffvolumen betrachtet, sondern ein zylinderförmiges Bauteil (rechts im Bild). Hier erkennt man sofort, dass sich die Moduln in 1-Richtung und 2/3-Richtung unterscheiden. dennoch sind alle Eigenschaften radial zum Bauteil identisch, also richtungsunabhängig.

Beispiele

unidirektionale Schichten sind, bezüglich ihrer faserparallelen Achse, transversal isotrop.

Bedeutung in der Konstruktion

Unidirektional faserverstärkte Einzelschichten sind die Grundelemente jedes Mehrschichtverbundes bzw. Laminats. Die Einzelschichten weisen im allgemeinen stark anisotrope (richtungsabhängige)Eigenschaften auf. In der Konstruktion werden transversal Isotrope Werkstoffe gerne eingesetzt. Sie haben den Vorteil der richtungsabhängigen Moduln. Der Konstrukteur muss sich jedoch keine Sorgen über die Änderung der Eigschaften bei Drehung machen, solange er den Werkstoff in seinen Symmetrieachsen belastet.

Mathematische Formulierung

Ein transversal isotroper Werkstoff kann daran erkannt werden, dass in seiner Steifigkeits- oder Nachgiebigkeitsmatrix die Koppelterme nicht besetzt sind. Schubspannungen führen nicht zu Dehnungen. Des Weiteren reduzieren sich die richtungsabhängigen Elastizitätsmoduln auf zwei. Aufgrund der transversalen Isotropie sind die folgenden Ausdrücke identisch:

$E 2 = E 3$
$G 13 = G 12$
$ν 31 = ν 21$

Wie auch beim orthotropen Werkstoffgesetz gilt, dass die Indizes der Querkontrkationszahlen nicht ausgetauscht werden dürfen: $\nu_{ij} \ne \nu_{ji}$

$\begin{bmatrix} \epsilon_1\\ \epsilon_2 \\ \epsilon_3 \\ \gamma_{23}\\ \gamma_{31} \\ \gamma_{12} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{E_1} & -\frac{\nu_{21}}{E_2} & -\frac{\nu_{21}}{E_2} & & & \\ -\frac{\nu_{12}}{E_1} & \frac{1}{E_2} & -\frac{\nu_{32}}{E_2} & & & \\ -\frac{\nu_{12}}{E_1} & -\frac{\nu_{23}}{E_2} & \frac{1}{E_2} & & & \\ & & & \frac{2(1+\nu_{23})}{E_2} & & \\ & & & & \frac{1}{G_{12}} & \\ & & & & & \frac{1}{G_{12}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sigma_1\\ \sigma_2 \\ \sigma_3 \\ \tau_{23}\\ \tau_{31} \\ \tau_{12} \end{bmatrix}$

Um das Elastizitätsgesetz aufzustellen sind 5 unabhängige Größen notwendig. Beim transversal isotropen Elastizitätsgesetz ist es auf der isotropen Ebene möglich, den Schubmodul aus den Elastizitätsmoduln und den Querkontraktionszahlen zu ermitteln. Daher ist der Schubmodul $G_{23}=\frac{E_2}{2(1+\nu_{23})}$ keine Grundelastizitätsgröße. Die Schubmoduln außerhalb der isotropen Ebene lassen sich, wie beim orthotropen Elastizitätsgesetz, nicht berechnen.

Formelzeichen:

$E i$ Elastizitätsmodul in Richtung i
$G i j$ Schubmodul in der ij-Ebene
$ν i j$ Querkontraktionszahl in Richtung i bei Belastung in j-Richtung
$σ i,ε i$ Normalspannung bzw. Normaldehnung in Richtung i
$τ i j,γ i j$ Schubspannung bzw. Schiebung in der i-Ebene in Richtung j

Die Dimensionen der Module und Spannungen sind Kraft pro Fläche. Die Querkontraktionszahlen und die Dehnungen sind dimensionslos. $i,j=1\dots3$

Literatur

H. Altenbach, J. Altenbach, R. Rikards: Einführung in die Mechanik der Laminat- und Sandwichtragwerke. Stuttgart: Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie, 1996. ISBN 3-342-00681-1

Kategorien: Werkstoffeigenschaft | Verbundwerkstoff

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