Von-Neumann-Gleichung

Die von-Neumann-Gleichung (nach John von Neumann) beschreibt die zeitliche Entwicklung des Dichteoperators $\hat\rho$ :

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$\hat\rho=|\psi\rangle\langle\psi|=\sum_i p_i |\psi_i\rangle\langle\psi_i|$

Dabei bezeichnet $p i$ die Wahrscheinlichkeit den Zustand $|\psi_i\rangle$ zu messen. Die von-Neumann-Gleichung lässt sich dann aus der Schrödinger-Gleichung herleiten:

$\frac{\partial\hat\rho}{\partial t}=-\frac{i}{\hbar}\left[\hat H,\hat\rho\right]$

$\hat H$ ist dabei der Hamilton-Operator des Systems und $[\hat H,\hat\rho]=\hat H\hat\rho-\hat\rho\hat H$ ist ein Kommutator.

Vergleicht man die von-Neumann-Gleichung mit der Heisenbergschen Bewegungsgleichung für einen allgemeinen Operator $\hat A$ so sieht man:

$\frac{d\hat A}{dt}=\frac{i}{\hbar}\left[\hat H,\hat A\right]+\frac{\partial\hat A}{\partial t} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\hat\rho}{dt}=0$

Der Dichteoperator definiert also eine Erhaltungsgröße - die Gesamtwahrscheinlichkeit. Die von-Neumann-Gleichung stellt damit das quantenmechanische Analogon zur Liouville-Gleichung der klassischen statistischen Mechanik dar, welche die Erhaltung des Phasenraumvolumens impliziert.

Literatur

Franz Schwabl, Quantenmechanik

Kategorie: Quantenmechanik

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