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Wärmekapazität

Wärmekapazität

Die Wärmekapazität ist ein Begriff aus der Thermodynamik und bezeichnet das Vermögen eines Körpers, Energie in Form von thermischer Energie statistisch verteilt auf die Freiheitsgrade zu speichern. Sie wird im Allgemeinen durch das Formelzeichen c dargestellt. Per Definition gibt c die Wärmemenge Q (in Joule) an, die einem Körper zugeführt werden muss, um einen Anstieg der Temperatur T (in Kelvin) zu erreichen:

$C = \frac{\partial Q}{\partial T}$

Dabei ist es von Nöten, dass der Prozess der Erwärmung quasi-statisch, das heißt sehr langsam erfolgt, so dass während des Prozesses irreversible Erscheinungen keine wesentliche Rolle spielen. Präziser sollte man deshalb von der Gleichgewichtswärmekapazität sprechen.

Im Allgemeinen spielen die äußeren Bedingungen, unter denen der Körper erwärmt wird, wie konstanter Druck oder konstantes Volumen, eine Rolle. Bei konstantem Druck wird beispielsweise gleichzeitig Arbeit in Form der thermischen Ausdehnung des Körpers geleistet, was auf Grund der Energieerhaltung zu einer größeren Wärmeaufnahme pro Temperatureinheit führt. Man unterscheidet deshalb die Wärmekapazität für ein konstantes Volumen C_V und für einen konstanten Druck C_p.

Ist der Körper physikalisch homogen, so ist es sinnvoll, die Wärmekapazität pro Masseneinheit (oder Stoffeinheit) anzugeben, welche dann als spezifische Wärmekapazität (beim Bezug auf 1 kg eines Stoffs) oder Molwärme bzw. molare Wärmekapazität (beim Bezug auf 1 mol eines Stoffs) bezeichnet wird. Erstere wird mit dem Formelsymbol c abgekürzt.

Die physikalische Einheit der Wärmekapazität ergibt sich aus ihrer Definition als [J/K], die der spezifischen Wärmekapazität je nach bezogener Stoffeinheit als [J/(K·kg)] oder [J/(K·mol)].

Auch die Temperatur des Stoffes hat einen Einfluss darauf, Beispiel:

Wasser (flüssig) bei 20 °C: $c = 4,19\ \mathrm{kJ/(kg\, K)}$
Wasser bei 15 °C: $c = 4,186\ \mathrm{kJ/(kg\, K)}$

Für feste Stoffe kann man in kleinen Temperaturbereichen eine mittlere spezifische Wärmekapazität verwenden.

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Inhaltsverzeichnis

1 Allgemeine Beziehungen
2 Spezifische Wärmekapazität idealer Gase
3 Temperaturabhängigkeit der Wärmekapazität eines kristallinen Festkörpers
4 Negative Kapazität (Sterne)

Allgemeine Beziehungen

Zwischen den Wärmekapazitäten bei konstantem Druck $C p$ und bei konstantem Volumen $C V$ bestehen folgende allgemeine Beziehungen:

$C_p - C_V = TV\frac{\alpha^2}{\kappa_T}$

$\frac{C_p}{C_V} = \frac{\kappa_T}{\kappa_S}$

Hierbei ist $\alpha = \frac{1}{V}\left.\frac{\partial V}{\partial T}\right|_p$ der thermische Ausdehnungskoeffizient, $\kappa_T = -\frac{1}{V}\left.\frac{\partial V}{\partial p}\right|_T$ die isotherme Kompressibilität, $\kappa_S = -\frac{1}{V}\left.\frac{\partial V}{\partial p}\right|_S$ die isentrope Kompressibilität und $T$ die absolute Temperatur (K).

Spezifische Wärmekapazität idealer Gase

Die spezifische Wärmekapazität idealer Gase hängt nur von der Temperatur ab und ist von Druck unabhängig. Aus der idealen Gasgleichung folgt:

$c_p - c_V = \frac{R}{M}=R_S$

wobei $R=8,314472\ \mathrm{J/(mol\, K)}$ die universelle Gaskonstante, $M$ die mittlere molare Masse und $R S$ die spezifische Gaskonstante des Gases bezeichnet. Die Differenz $c p - c V$ ist also temperaturunabhängig.

Beispiel (Wasserstoff ( $H 2$ ) bei 20 °C und 1,013 bar)

gleich bleibender Druck: $c_p = 14,24\ \mathrm{kJ/(kg\, K)}$
gleich bleibendes Volumen: $c_v = 10,1\ \mathrm{kJ/(kg\, K)}$

$\frac{R}{M} = 4,124~\mathrm{\frac{kJ}{kg\, K}}$

Die Differenz $c_p - c_v = 4,14\ \mathrm{kJ/(kg\, K)}$ statt $4,124\ \mathrm{kJ/(kg\, K)}$ ) erklärt sich daraus, dass Wasserstoff kein hundertprozentig ideales Gas ist.

Um die Wärmekapazität idealer Gase zu überschlagen, gibt es die Möglichkeit, sie über die Freiheitsgrade zu berechnen. Jedes Atom hat drei Freiheitsgrade, die Translationen in den drei Raumdimensionen.

Für einatomige Gase gilt:

$c_V = \frac{3}{2} \frac{R}{M} = \frac{3}{2} R_S$ , also $\frac{1}{2} R_S$ pro Freiheitsgrad.

Für mehratomige Gase gilt:

$c_V = \frac{1}{2}R_S\left (f_\mathrm{trans} + f_\mathrm{rot} + 2 \cdot f_\mathrm{vib} \right )$ ,

d. h. je nach Translations-, Rotationsfreiheitsgraden einhalb $R S$ , für die Vibrationsfreiheitsgrade einmal $R S$ . Dabei ist zu beachten, dass bei Raumtemperatur Rotationsfreiheitsgrade üblicherweise angeregt sind (IR-Spektrum), Vibrationsfreiheitsgrade häufig nur zu einem geringen Anteil (UV-Spektrum).

Beispiel $H 2$ :

$f trans = 3$
$f rot = 2$
$2 f vib = 2$

$\Rightarrow c_V = \frac{5}{2} R_S = \frac{5 \cdot R}{2 \cdot M} = 10,4 \mathrm{\frac{J}{g\, K}}$ , ohne Vibrationen

$\Rightarrow c_P = \frac{7}{2} R_S = \frac{7 \cdot R}{2 \cdot M} = 14,6 \mathrm{\frac{J}{g\, K}}$ , mit Vibrationen

Sollte der Isentropenexponent des Idealen Gases bekannt sein, so lassen sich die Wärmekapazitäten aus der Kombination von Formel 1 und der Formel

$\ {\kappa} = \frac {c_p} {c_v}$

berechnen.

Temperaturabhängigkeit der Wärmekapazität eines kristallinen Festkörpers

Debye-Temperatur ausgewählter Materialien
Material	Debye-Temperatur
Aluminium	426 K
Magnesium	406 K
Eisen	464 K
Kupfer	345 K
Zinn	195 K
Blei	96 K

Bei hohen Temperaturen gilt die Dulong-Petit'sche Regel, die eine konstante molare Wärmekapazität von $C = 3 R$ für den Festkörper vorhersagt.

Bei niedrigen Temperaturen versagt dieses Modell. In diesem Bereich sagt das Debye-Modell eine $T 3$ -Abhängigkeit der Wärmekapazität vorher. Nach dem Debye-Modell wird die molare Wärmekapazität in Abhängigkeit von der Temperatur durch nur eine Stoffgröße, die sogenannte Debye-Temperatur $Θ D$ , bestimmt:

$c_V(T)=9R \cdot \left( \frac{T}{\Theta_D} \right)^3 \int_0^{\frac{\Theta_D}{T}} \frac{x^4 \cdot \mathrm e^x}{\left(\mathrm \mathrm e^x-1 \right)^2} \mathrm dx$

Der Vorläufer des Debye-Modells ist das Einstein-Modell, welches insbesondere bei tiefen Temperaturen für praktische Anwendungen zu ungenau ist.

Negative Kapazität (Sterne)

Die meisten physikalischen Systeme zeigen eine positive Wärmekapazität. Auch wenn das Gegenteil zunächst absurd erscheint, können Systeme auch eine negative Wärmekapazität aufweisen. Dazu zählen gravitierende Objekte wie zum Beispiel kollabierende Sterne, die sich beim Zusammenziehen (innere Energie verringert sich) erhitzen, oder sehr kleine Systeme (Cluster) aus einigen hundert Atomen nahe an einer Phasenumwandlung. Diese merkwürdige Eigenschaft steht im Zusammenhang mit der thermodynamischen Stabilität. Nur Systeme mit einer positiven Wärmekapazität können im thermodynamischen Sinne als stabil und diese damit auch als extensive Größe betrachtet werden.

Kategorie: Stoffeigenschaft

Dieser Artikel basiert auf dem Artikel Wärmekapazität aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation. In der Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.