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WellengleichungAls Wellengleichung bezeichnet man eine partielle Differentialgleichung, deren Lösungen die Ausbreitung von Wellen modelliert. Darüber hinaus ist sie (zusammen mit zahlreichen Varianten) als unabhängiger Forschungsgegenstand von Interesse. Weiteres empfehlenswertes Fachwissen
Die homogene WellengleichungUnter einer homogenen Wellengleichung versteht man eine lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung für eine Funktion
im n-dimensionalen Raum der Form
Die Wellengleichung ist eine partielle Differentialgleichung vom hyperbolischen Typ. Oft wird der Begriff "Wellengleichung" darüber hinaus auch auf andere lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung angewendet, deren Lösungen als Linearkombinationen ebener Wellen geschrieben werden können. Die Funktion u kann dabei in die reellen oder komplexen Zahlen, aber auch auf Vektoren, Tensoren oder Spinoren abbilden. Lösungen der homogenen Wellengleichung in einer DimensionDie homogene Wellengleichung in einer Dimension lautet (hierbei ist die Funktion u natürlich zweidimensional, aber üblicherweise wird t hier nicht mitgezählt). Sie hat als allgemeine Lösung mit beliebigen zweimal differenzierbaren Funktionen f(x) und g(x). Dabei beschreibt der erste Summand eine mit Geschwindigkeit c nach links laufende, der zweite Summand eine mit derselben Geschwindigkeit nach rechts laufende ebene Welle. Mit Hilfe der Fouriertransformation lassen sich die Funktionen f und g als Linearkombination von Sinus-Funktionen oder auch komplexen Exponentialfunktionen schreiben, wobei diese Funktionen die Form bzw. haben (in der zweiten Schreibweise steckt die Phase φ im komplexen Vorfaktor A), wobei Lösung mit speziellen AnfangsbedingungenSei also die allgemeine Lösung der Wellengleichung und sowie zwei Anfangsbedingungen, dann folgt: Integration der zweiten Gleichung ergibt: Durch Auflösen erhält man: Die Lösung der Wellengleichung unter den obigen Anfangsbedingungen lautet demnach: Die Wellengleichung in mehreren DimensionenIn mehreren Dimensionen lässt sich die allgemeine Lösung nicht mehr so einfach hinschreiben, aber auch hier können alle Lösungen als Linearkombination der ebenen Wellen bzw. mit geschrieben werden. Diese Wellen haben alle die Geschwindigkeit c und bewegen sich in Richtung von . Allgemeine WellengleichungIm allgemeinen (4-dimensionalen) Fall lautet die Wellengleichung . Dabei ist c die Ausbreitungsgeschwindigkeit und Δ der Laplaceoperator. Die Wellengleichung kann man mit dem d'Alembertoperator oder Quablaoperator ("Viereckoperator") vereinfacht als schreiben. Die Wellengleichung für elektromagnetische WellenDie Herleitung der Wellengleichung aus der TelegraphengleichungDie Herleitung der Wellengleichung findet unter Anwendung der maxwellschen Gleichungen in differentieller Form statt.
an dieser Stelle lassen sich mit Hilfe der Vektoranalysis bzw der Graßmann-Identität verschiedene Vereinfachungen vornehmen:
Für einen metallischen Leiter gilt somit:
Für einen Isolator gilt im materiefreien Raum (näherungsweise auch Luft) allerdings:
Wellengleichung für anisotrope KörperIn anisotropen Körpern ist die elektrische Feldstärke und die elektrische Verschiebungsdichte nicht mehr gleich gerichtet. Damit kann die dielektrische Funktion , welche die beiden Formelgrößen verknüpft, nicht mehr als Skalar aufgefasst, sondern muss als Tensor zweiter Stufe behandelt werden. Wie sich eine elektromagnetische Welle im anisotropen Medium ausbreitet, lässt sich durch Lösen der Wellengleichung für anisotrope Körper berechnen:
Die Lösung dieser Gleichung ist Thema der Kristalloptik. Wellengleichung in kovarianter FormulierungIn der kovarianten Formulierung der Elektrodynamik lauten die inhomogenen Maxwellgleichungen:
wobei . In Lorenz-Eichung ergibt sich: Die Herleitung ist also im 4er-Formalismus um einiges einfacher. Die Wellengleichung lautet also (sie ist im Übrigen Lorentz-invariant, allerdings nicht Galilei-invariant): Akustische Wellengleichung in Flüssigkeiten und GasenDie akustische Wellengleichung wird abgeleitet aus der Newtonschen Kraftgleichung in differentieller Form mit dem Druck p, der Dichte ρ und der Schallschnelle (Partikelgeschwindigkeit) . Die zweite Grundgleichung ist die Kontinuitätsgleichung mit der Schallgeschwindigkeit . Aus beiden Gleichungen zusammen folgt
die in der Form genau der elektromagnetischen Wellengleichung entspricht. Weil aber der Schalldruck p anders als die elektrische Feldstärke E eine skalare Größe ist, gibt es bei akustischen Wellen keine Polarisation. weitere Wellengleichungen
Kategorien: Quantenphysik | Elektrodynamik |
Dieser Artikel basiert auf dem Artikel Wellengleichung aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation. In der Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar. |