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Wiensches_Verschiebungsgesetz

Wiensches Verschiebungsgesetz

Das nach Wilhelm Wien benannte wiensche Verschiebungsgesetz gibt an, bei welcher Wellenlänge $λ max$ bzw. Frequenz $ν max$ ein nach dem planckschen Strahlungsgesetz strahlender Schwarzer Körper je nach seiner Temperatur die größte Strahlungsleistung oder die größte Photonenrate abgibt.

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Inhaltsverzeichnis

1 Allgemeines
2 Maximale Strahlungsleistung
3 Maximale Photonenrate
- 3.1 Wellenlängendarstellung
- 3.2 Frequenzdarstellung
4 Anwendungsbeispiele
5 Siehe auch
6 Quellen

Allgemeines

Die von einem Schwarzen Körper abgegebene Wärmestrahlung ist ein Gemisch elektromagnetischer Wellen aus einem breiten Wellenlängenbereich. Die Verteilung der Strahlungsintensität auf die einzelnen Wellenlängen wird durch das plancksche Strahlungsgesetz beschrieben. Sie weist ein deutliches Maximum auf, dessen Lage mit dem wienschen Verschiebungsgesetz berechnet werden kann.

Insbesondere gilt: Je höher die Temperatur eines Körpers ist, desto kürzer ist die Wellenlänge, bei der das Intensitätsmaximum ausgesandt wird. Daher gibt zum Beispiel Stahl bei Raumtemperatur unsichtbares infrarotes Licht als „Wärmestrahlung“ ab, warmer glühender Stahl leuchtet dunkelrot, heißer flüssiger Stahl glüht fast weiß.

Die gebräuchlichste Formulierung des Verschiebungsgesetzes lautet:

$\lambda_\mathrm{max} = \frac{2897{,}8 \, \mathrm{\mu m \, K}}{T}$

$λ max$	Wellenlänge, bei der die größte Strahlungsintensität auftritt, in µm
$T$	absolute Temperatur der strahlenden Fläche, in K

Es lassen sich auch Formulierungen des Gesetzes für die Frequenz maximaler Intensität, $ν max$ , sowie für Wellenlänge und Frequenz mit maximaler Photonenrate herleiten. Es ist jeweils zu beachten, dass $ν max$ sich nicht ergibt, indem $λ max$ einfach in die entsprechende Frequenz umgerechnet wird; es liegt an einer anderen Stelle im Spektrum (mit anderen Worten: es gibt kein „objektives“ Maximum).

Maximale Strahlungsleistung

Wellenlängendarstellung

Die spektrale spezifische Ausstrahlung eines Schwarzen Körpers der Temperatur $T$ wird durch das plancksche Strahlungsgesetz beschrieben und lautet in der Wellenlängendarstellung:

$M^o_{\lambda}(\lambda, T) = \frac{2 \pi h c^2}{\lambda^5} \cdot \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1}$ .

$M^o_{\lambda}(\lambda, T)$	spektrale spezifische Ausstrahlung, in W m^-2m^-1	$h \,$	plancksches Wirkungsquantum, in Js
$c \,$	Lichtgeschwindigkeit, in m s^-1	$k \,$	Boltzmann-Konstante, in J K^-1
$T \,$	absolute Temperatur der Strahlerfläche, in K	$\lambda \,$	betrachtete Wellenlänge, in m

Gesucht ist die Wellenlänge $λ max$ , bei welcher diese Funktion das Maximum annimmt. Nullsetzen der Ableitung nach $λ$ liefert:

$\frac{hc}{\lambda kT} \cdot \frac{1}{1-e^{- \frac{hc}{\lambda kT}}}-5 = 0$ .

Die Substitution $x := \frac{hc}{\lambda kT}$ vereinfacht den Ausdruck zu

$\frac{x}{1-e^{-x}}-5 = 0$ .

Die numerische Lösung ergibt

$x = 4{,}9651142317\dots$ ^[1],

und die Rücksubstitution führt auf das wiensche Verschiebungsgesetz in der Wellenlängendarstellung:

$\lambda_\mathrm{max} = \frac{hc}{xkT} =: \frac{b}{T} = \frac{2897{,}8\,\mathrm{\mu m \, K}}{T}$

Die Wellenlänge maximaler Strahlungsleistung verschiebt sich also bei einer Temperaturänderung einfach umgekehrt proportional zur absoluten Temperatur des Schwarzen Strahlers: verdoppelt sich die Temperatur des Strahlers, so tritt die größte Strahlungsleistung bei der halben Wellenlänge auf.

Die Konstante $b = 2897{,}8\,\mathrm{\mu m \, K}$ wird auch als wiensche Verschiebungskonstante bezeichnet. Der gemäß CODATA 2006 empfohlene Wert beträgt $(2897{,}7685 \pm 0{,}0051)\,\mathrm{\mu m \, K}\$ .^[2]

Die spektrale spezifische Ausstrahlung des Maximums ist proportional zu $T 5$ :

$M^o_{\lambda}(\lambda_\mathrm{max}, T) = \frac{2 \pi \, x^5 k^5}{h^4 c^3} \frac{1}{e^{x}-1} \cdot T^5$ .^[3]

Frequenzdarstellung

In der Frequenzdarstellung ist die spektrale spezifische Ausstrahlung gegeben durch

$M^o_{\nu}(\nu, T) = \frac{2 \pi h\nu^{3}}{c^2} \frac{1}{e^{\left(\frac{h\nu}{kT}\right)}-1}$ .

Nullsetzen der Ableitung nach $ν$ liefert:

$3 - \frac{h\nu}{kT}\frac{1}{1-e^{\left(-\frac{h\nu}{kT}\right)}} = 0$ .

Die Substitution $\tilde x := \frac{h\nu}{kT}$ vereinfacht den Ausdruck zu $3 - \frac{\tilde x}{1-e^{- \tilde x}} = 0$ .

Die numerische Lösung ergibt

$\tilde x = 2{,}8214393721\dots$ ^[1],

und Rücksubstitution führt auf das wiensche Verschiebungsgesetz in der Frequenzdarstellung:

$\nu_{\rm max} = \frac{\tilde x k T}{h} = 5{,}878933 \cdot 10^{10} \,\mathrm{Hz \, K^{-1}} \cdot T$

Die Frequenz maximaler Strahlungsleistung verschiebt sich also proportional zur absoluten Temperatur des Strahlers. Der gemäß CODATA 2006 empfohlene Wert der wienschen Konstanten in der Frequenzdarstellung beträgt $(5{,}878933\pm0{,}000010)\cdot 10^{10} \,\mathrm{Hz/K}$ .^[4]

Die spektrale spezifische Ausstrahlung des Maximums ist proportional zu $T 3$ :

$M^o_{\nu}(\nu_\mathrm{max}, T) = \frac{2 \pi \, \tilde x^3 k^3}{h^2 c^2} \frac{1}{e^{\tilde x}-1} \cdot T^3$ .^[3]

Unterschiedliche Maxima in beiden Darstellungen

Man beachte, dass wegen der nichtlinearen Umrechnung zwischen Wellenlängen- und Frequenzintervallen nicht die folgende Gleichung:

${\color{red}\mathbf{falsch:}} \qquad \nu_\mathrm\mathrm{max} = \frac{c}{\lambda_\mathrm{max}}$

sondern folgende Gleichung gilt:

$\nu_{\rm max} = \frac{\tilde x}{x} \frac{c}{\lambda_{\rm max}} \approx 0{,}568 \frac{c}{\lambda_{\rm max}}$ .

Beispiel: Die Punkte im nebenstehenden Diagramm folgen einer Planckverteilung (für T = 600 K). Eingezeichnet sind auch Frequenzintervalle konstanter Breite (jeweils 10 THz) und Wellenlängenintervalle konstanter Breite (jeweils 1 µm). Für jedes Intervall ist die Anzahl der darin enthaltenen Punkte angegeben. Wie sofort zu sehen ist, enthält das Frequenzintervall zwischen 30 und 40 THz mehr Punkte als jedes andere Frequenzintervall (13), während das Wellenlängenintervall zwischen 4 und 5 µm mehr Punkte enthält als jedes andere Wellenlängenintervall (10). Rechnet man jedoch die Frequenz, bei der das Maximum auftritt, in die entsprechende Wellenlänge um, so erhält man nicht jene Wellenlänge, bei welcher das Maximum auftritt, wenn die Wellenlängenintervalle betrachtet werden.

Trägt man das Diagramm einmal gegen eine lineare Frequenzachse und einmal gegen eine lineare Wellenlängenachse auf, so ist auch optisch erkennbar, wie sich die Punkte in jeweils unterschiedlichen Bereichen der Achse zusammendrängen. Es gibt kein „objektives“ Maximum.

Maximale Photonenrate

Wellenlängendarstellung

Die spektrale spezifische Ausstrahlung, ausgedrückt durch die Abstrahlungsrate der Photonen, ist in der Wellenlängendarstellung gegeben durch

$\tilde M^o_{\lambda}(\lambda, T) = \frac{2 \pi c}{\lambda^4} \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}} - 1}$ .

Nullsetzen der Ableitung nach $ν$ liefert:

$\frac{hc}{\lambda kT} \cdot \frac{1}{1-e^{- \frac{hc}{\lambda kT}}} - 4 = 0$ .

Die Substitution $x := \frac{hc}{\lambda kT}$ vereinfacht den Ausdruck zu $\frac{x}{1-e^{-x}}-4 = 0$ .

Die numerische Lösung ergibt

$\hat x = 3{,}9206903948\dots$ ^[1],

und Rücksubstitution führt auf das wiensche Verschiebungsgesetz für die Photonenrate in der Wellenlängendarstellung:

$\lambda_{\rm max} = \frac{hc}{\hat xkT} = \frac{3669{,}7\,\mathrm{\mu m \, K}}{T}$

Die spektrale Photonenrate des Maximums ist proportional zu $T 4$ .

Frequenzdarstellung

In der Frequenzdarstellung ist die spektrale spezifische Ausstrahlung, ausgedrückt durch die Abstrahlungsrate der Photonen, gegeben durch

$\tilde M^o_{\nu}(\nu, T) = \frac{2 \pi \nu^{2}}{c^2} \frac{1}{e^{\left(\frac{h\nu}{kT}\right)}-1}$ .

Nullsetzen der Ableitung nach $ν$ liefert:

$2 - \frac{h\nu}{kT}\,\frac{1}{1-e^{-~\frac{h\nu}{kT}}} = 0$ .

Die Substitution $\check x := \frac{h\nu}{kT}$ vereinfacht den Ausdruck zu $2 - \frac{\check x}{1-e^{- \check x}} = 0$ .

Die numerische Lösung ergibt

$\check x = 1{,}5936242600\dots$ ^[1],

und Rücksubstitution führt auf das wiensche Verschiebungsgesetz für die Photonenrate in der Frequenzdarstellung:

$\nu_{\rm max} = \frac{\check x k T}{h} = 3{,}320578 \cdot 10^{10} \,\mathrm{Hz \, K^{-1}} \cdot T$

Die spektrale Photonenrate des Maximums ist proportional zu $T 2$ .

Anwendungsbeispiele

Nimmt man für die Sonne $\lambda_{\rm max}\approx 500$ nm an und betrachtet sie näherungsweise als Schwarzen Strahler, so ergibt sich nach dem wienschen Verschiebungsgesetz ihre Oberflächentemperatur zu ca. 5800 K. Die auf diese Weise ermittelte Temperatur heißt wiensche Temperatur. Man vergleiche sie auch mit der über das Stefan-Boltzmann-Gesetz ermittelten Effektivtemperatur von 5777 K. Der Unterschied rührt daher, dass die den beiden Berechnungen zugrunde gelegte Annahme, die Sonne sei ein Schwarzer Strahler, zwar in guter Näherung aber nicht perfekt erfüllt ist.

Glutfarben geben Aufschluss über die Temperatur heißer (über ca. 500 °C) Materialien.

Andere Beispiele sind die strahlende Erdoberfläche und die Treibhausgase. Bei den Temperaturen im Bereich von 0° C liegt das Strahlungsmaximum im infraroten Bereich um 10 μm. Bei den Treibhausgasen kommt dazu, daß sie nur teilweise (selektive) schwarze Körper sind.

Siehe auch

Andere die Strahlung des Schwarzen Körpers betreffende Gesetze sind das plancksche Strahlungsgesetz, das Stefan-Boltzmann-Gesetz, das wiensche Strahlungsgesetz und das Rayleigh-Jeans-Gesetz. Näherungsweise gelten diese Gesetze oft auch für die von nicht-schwarzen Strahlern abgegebene Wärmestrahlung.

Quellen

↑ ^a ^b ^c ^d vgl.: Tatum J.B.: Stellar Atmospheres, chapter 2: Blackbody Radiation. On-line lecture notes (pdf 217 KB, aufgerufen 12. 6. 2007), S. 5
↑ CODATA Website, aufgerufen 12. 6. 2007
↑ ^a ^b Tatum, S. 6
↑ CODATA Website, aufgerufen 12. 6. 2007

Kategorien: Atomphysik | Thermodynamik

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Siehe auch

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